nell'intervallo (01), qualunque sia 1^1^), che verilìca le equazioni: 



^0 ■'0 n=l 



m = 1 , 2 , ... , 



00 



la serie ^ (Qh(0)^ essendo convergente uniformemente per t ^ Iq. 

 5. Lemma II. La serie 



(14) y a)„(^) Q„(0 



converge assolutamente ed uniformemente rispetto alla coppia di variabili 

 X , t per 0:<a;<-l , t ^to- 



Si ha infatti dalla (12), ricordando che ^i{x) , 'Pì{x) , ... sono le fun- 

 zioni eccezionali al nucleo H(f , x) 



(15) A„ = f re{i) H(i ,rj)d^dri = -^ re{^) a>„(^) d^ . 



D'altra parte applicando il teorema del valor medio, detto if* un valore in- 

 termedio fra ^0 e si ha: 



(16) e ''&nkc)d,T = - \ B„(^*) = 



_ K{t-to) 



Dalla (13), tenendo presente le (15), (16) si ha quindi: 



<P4x)Q„(0 = <fn(^)|A,e ^ Bn{T)dT( = 



<P„(f) dS + 



An(t— ?o) 



1 — e I 



H ^ <t)n{x) \ y{x , t*) 0n{x) dX = 



= e (P^{7])E(r],x)drj \ d{^) dS -\- 



+ (e -1)1 ^{V , ^) ) m ^«(^) , 



