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da cui segue, tenuto conto che le A„ sono Jiegative e si considerano solo 

 valori di ^ ^ 



l<f«(^)Q«WI< 



+ 



+ 



<P„{V) H(ij ,x)drj , t*) d^ 



1 



- y 



2 re=l 



1 



Ma allora, secondo una formula ben nota di E. Schmidt ('), si ha 

 <t>„{rj) IL{ri , x) drj ^©(f ) <P„(^) d^ 



l'air) , x)f dt] ) {d{^)ydÌ^U 

 0^{rj)Biri,x)dr] I ^(^ , r ) <2>„(|) ^^i" 1 < 



Ciò porta, come conseguenza : 



f\0n{x)Q„(t)\<4M 



q'>q 



(') Cfr. E. Schmidt, EnLwicklung willkurlicher Funklionen nach Systemea vor- 

 geschriebener. Math. Ann., Bd. LXIII. 



Sia Qj{z,x) una funzione reale delle ■variabili reali 2, per a <. <. è . a ^ z 

 integrabile parzialmente rispetto ad x nell'intervallo ab, insieme al suo quadrato Q,^{z,x): 

 f{x) una funzione integrabile insieme al suo quadrato nello stesso intervallo. Siano inoltre 

 tf'i{x) , tlJt{x) , ... una successione infinita di funzioni normali ortogonali nello stesso inter- 

 vallo. Si ha allora (loc. cit., § 2) la formula seguente: 



V 



V— n 



rb 



f(y)^v{y)dy q{2 , x)ìpv{x) dx 



i Ja 



< 



<2 



|/j^\Q(2 , x)r rf^ |/X ( fjiy) V'v(2/) dyj 



ma si ha pure (ibid., § 1) 



f{ ( 'fiy)My}dyX^ f\f{x)ydx, 



formule valide per ogni intero e positivo n. Da queste due disuguaglianze, seguono im- 

 mediatamente le formule del testo. 



