e da questa disuglianza discende senz'altro la convergenza assoluta ed uni- 

 forme della serie (14). 



co co 



6. Lemma III. Le serie V (Q„(^))* , V (Q^<))* convergono unifor- 



ri=\ n=l 



memente per tutti i valori di t ^t^. 



Si ha infatti, sostituendo nell'espressione (13) i valori di A„ . B„(/!) 

 tratti dalle (15), (16) 



Q„(^) = A„ e + e B„(t) dr = 



^ ' f 0 



/l„(< — ta) Xn(t — to) 



= 6(1) (P„(?) rf^ + ^^^=^^^ y(?,r)d)„(?)«!?, 



da cui segue, tenuto conto che le In sono quantità negative e si considerano 

 valori di t 



I K Q„(0 1 m <P«(?) dn-\-\\ )i^,t*) <!>„(?) di 



^0 I I '0 



e quindi 



da cui, per la disuguaglianza di Schwartz, tenuto conto che le ^n{x) sono 

 normali e ortogonali 



y xi{(^n{t)Y < 2 {\em d^ + 2 r'(y(^ , t*)Y d^r^m, 



e da questa disuguaglianza, tenendo conto che le A„ crescono indefinitamente 

 in valore assoluto, discende a fortiori la convergenza della serie 



Passiamo alla serie delle derivate: otteniamo, dalla (13) 



QU^) = 4Q«(0+ rV(^,«)<2'«(?)^^f, 

 e conseguentemente: 



da cui, tenuto conto della disuguaglianza precedente, si raccoglie 

 \ V (Q;(0)* < 4M H- r V(? , 0)^ < 5M , 



71=1 -'O 



