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ovvero 



y (q;(<))^< loM 



00 



disuguaglianza, che prova che la serie 2] (Qn{0)* converge uniformemente 

 per t ^to- 



00 



7. Corollario. Siccome la serie V (Q^^))^ converge uniformemente per 



t^to, ne segue, secondo il teorema dimostrato nella nostra Nota I ('), 

 che è possibile determinare dei numeri interi^ positivi e crescenti, fii , 

 Hi, (li, ... tali che posto : 



(17) Sm{x , t) = a),(x) q[{t) + a),(o qi{t) H h Qmix) QUO 



la serie: 



(18) S^.(^ , t) + (S;.,(a^ , t) - Sj.,(^ , 0 + - 



sia convergente uniformemente in generale rispetto ad x per 0^.r <.!, 

 ed uniformemente rispetto a t per t ^ t^ (nel senso spiegato al n. 1 della 

 Nota I). 



8. I numeri , /tj , ... essendo quelli stessi indicati or ora, formiamo 

 le espressioni 



(19) R.4x , t) = <D,{x) Qi(0 -r a>,{x) q,{t) -\ 1- <Pm{x) QUO • 



Sarà evidentemente Sm{x , t) = ^^"'^^ ' . Dalla convergenza assoluta ed 



~ìit 



uniforme della serie (14) discende che anche la serie: 



(20) Rj.,(^ , t) + (R^,(^ , t) R^,(^ , t)) + - 



converge assolutamente ed uniformemente per 0 <. ^ <. 1 , to^t. Il corol- 

 lario precedente ci mostra di piìi che la serie è derivabile parzialmente 

 rispetto a t, termine a termine, e la serie delle derivate converge unifor- 

 memente rispetto a t per t >.to, uniformemente in generale rispetto ad a; , 

 per 0 ^.v ^1 . 



Ed allora, detta v{a; , t) la somma della serie (20), v{x , t) è una fun- 

 zione finita e contiuua delle variabili a; , t per 0 ^ a; <- 1 , t^^t, deriva- 



^v(x t ) 



bile rispetto a (la derivata ' — essendo una funzione integrabile par- 



~òt 



zialmente rispetto ad x in senso di Lebesgue, qualunque sia t^-tt,). Dalle 

 V{X , t) = U^,{X , i) -f (Rix,(^ , t) — Ru.r{x , i)) + - 



(') Cfr. questi Keiidiconti, voi. XXI, 1" sem. 1912 a pag. 747. 



