— 133 — 



Se qui facciamo G{x , y , x' , y') = ]/x''^-\- y'^ , otteniamo in particolare 

 il teorema sopra ricordato. 



La dimostrazione della nostra proposizione è quella stessa del caso par- 

 ticolare, salvo, naturalmente, i cambiamenti dovuti alle nuove condizioni. Si 

 prenderà come funzione ausiliare la funzione F definita dall'uguaglianza 



F{x,y ,x' , y) = F{x , y , x' , y') -{- m . G{x , y , a;' , y') , 



dove w è un numero positivo tale che sia 



Fi(^ ,y ,x\y')-\- m . Gy{x ,«/')> 0 



per tutti i punti {x t/) di A e per tutti quelli {x' y') della circonferenza 

 x'^ -\- y'^ = 1. Questo numero m certamente esiste, data l'ipotesi fatta 

 sulla G e la continuità delle F, e Gi . 



Per ripetere ora tal quale il ragionamento fatto al n. 2 della Nota II, 

 è necessario applicare una proposizione che verrà da noi dimostrata in un 

 lavoro di prossima pubblicazione (Sul caso regolare nel Calcolo delle va- 

 riazioni). La proposizione è la seguente : &e la funzione F(^ ,y,x',y') è 

 tale che sia Fi > 0 per ogni punto {x , y) di A ed ogni coppia d,i numeri 

 x' , y' non nulli insieme, e 0, e C sono due curve (continue) rettificabili 

 interne ad A, delle quali la prima tende olla seconda, è 



F{x ,y ,x' ,y')ds^ Min lim F{x,y ,x' , y') ds (')• 



Applicando questa proposizione alla funzione F, abbiamo 



( Fds^m ( G & <- Min lim j ( Fds-^m ) Gdsì ; 

 Jc Jc c,=c ' °' ^c, ) ■ 



lim \ Gds = \ Gds , 



Ci=C -^^^ 



(1) [ Fds^Um lim \ F ds . 



c,=C ■ C' 



Analogamente, se definiamo la funzione F in modo che sia 



F(^ , ^ , y , /) = F{x,y,x\y') — U.G{x,y,x\ y') , 



dove M rende soddisfatta la disuguaglianza 



F,(^ , 2/ , ^' ,«/') — M Gy{x ,y,x',y')<:0 



Questa proposizione fu da noi già dimostrata nella Memoria (T) n. 27, sotto 

 le ipotesi F > 0 , F. > 0 . 



e per essere 



otteniamo 



