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per tutti i punti {x,y) di A e tutti quelli {x' , y') di x'^ -^y'^ = 1, ot- 

 teniamo 



(2) rPÈ^s> Mass lim CfcIs (') . 



Ci=C 



Le disuguaglianze (1) e (2) dimostrano il nostro teorema. 

 2. Dall'enunciato del n. precedente segue subito l'altro: 



Se per tutti i funti (x , y) di A e per tutte le coppie di numeri 

 x' . y' non nulli insieme, sono soddisfatte le disuguaglianze 



e la curva rettificabile Ci tende all'altra, pure r etti fic abile ^ C , l'ugua- 

 glianza 



lim G(a; .y ,x ' y') ds= G(a; ,y,x\y') ds 

 Ci=c '■^c, Jg 



è condizione necessaria e sufficiente affinchè sia 



lim ,y ,x\y')ds=- Y(x ^y ^x' ,y')ds . 



Si è già notato che la condizione è sufficiente. Per mostrare che è 

 anche necessaria basta applicare il teorema del n. precedente scambiando 

 fra loro le funzioni G e F. 



3. In particolare si ha che 



Se per i soliti valori di x ,y ,x\y\ è sempre Fi 4= 0, condizione 

 necessaria e sufficiente affinchè, al tendere della curva Ci alla G, si abbia 



lim \ ^ds= \ '^ds 



Ci=C 



è che la lunghezza della Ci tenda a quella della C. 



Questo risultato completa quello del numero due della Nota II. Se la P 

 non soddisfa alla disuguaglianza Fi 4=0, la condizione precedente, pur re- 

 stando sufficiente, non si mantiene necessaria, come si è già detto al n. 8 

 della Nota sopra citata. 



4. Sempre alla stessa Nota facemmo un'applicazione del teorema di 

 quel n. 2 al problema degli isoperimetri del tipo primitivo, nel quale cioè 

 r integrale che deve mantenere un valore fìsso per tutte le curve della va- 

 rietà considerata è quello che esprime la lunghezza di una curva. Il mede- 

 simo teorema è però utile anche nella risoluzione del piìi generale problema 



(') Questa disuguaglianza può ottenersi anche applicando la (1) alla funzione — F. 



