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teorema dato al n. 1, porta che sia 



fFds = ìim r ¥ds = l, 



e si ha così ancora l'esistenza del minimo (o massimo). 



5. Inutile dire che anche la proposizione data al n. 6 della Nota II 

 può essere generalizzata analogamente a quanto si è fatto per quella del 

 n. 2. Termineremo piuttosto generalizzando il lemma dimostrato al n. 5 

 della medesima Nota. 



Vale il seguente criterio di convergenza uniforme: 



Se la funzione a variazione limitata (') /«(a?) converge j fer n = cx>, 

 in ogni punto dell'intervallo {a , b) in cui è data^ verso una funzione 

 continua f{x), in modo che la sua variazione in tutto [a , b) tenda a 

 quella, pure limitata, di f{x), la convergenza della f„{x) è uniforme (^). 



Indichiamo con Y„{x) la variazione della funzione f{x) nell' intervallo 

 {a ,x); con Y{x) quella della f{x). È per ipotesi, 



lim Y„{b) = Y{b) , 



n=oo 



ed essendo 



Min lim Y„{x) > Y{x) 



Min lim j Yn{b) — V„(^) { > Y{b) — Y{x) {% 



n=oo 



è anche 



lim Yn{x) = Y{x) . 



Le funzioni V„(a;) sono tutte non decrescenti in {a ,b) e convergono 

 in ogni punto di quest'intervallo, per = oo alla Y{x), fuzione continua 

 perchè tale è la f{x). 



Il lemma ricordato del n. 5 della Nota II assicura allora che le Yn{x) 

 convergono in tutto {a , b) uniformemente verso la Y{x). 



Per questa convergenza uniforme e per la continuità della Y{x) è pos- 

 sibile, preso un e positivo arbitrario, determinare due numeri n q S tali 

 che, per ogni n^Tt ed ogni coppia Xi , soddisfacente alla disugua- 

 glianza \xi — Xi\<ió, sia sempre 



\Yn{x,)-Y^{x,)\<s , \Y{x,)-Y{x,)\<s. 



Ed osservando che l'oscillazione di una funzione in un determinato inter- 



(') Con variazione di una funzione intendiamo la variazione totale di Jordan. 

 (°) Si noti che alla funzione fn{x) non si impone la condizione della continuità. 

 C) Ciò scende immediatamente da una proposizione dimostrata da H. Lebesgue 

 nelle sue Legons sur Vintégration ecc., pag. 51. 



