vallo è sempre minore od uguale alla varia/ione calcolata nello stesso inter- 

 vallo, si ha anche, per tutti gli n^Ti e tutte le coppie Xi , x^ dette, 



(3) 



\fn{Xi) — fn{Xì)\<.S 



Dopo ciò, si divida {a , b) in un numero r di parti tutte <Có, e sì deter- 

 mini un numero n tale che per ogni n^7i sia 



in tutti gli r -f- 1 estremi di questa parte. Indicando con x un estremo di 

 una parte qualunque e con x un punto arbitrario di tal parte, si deduce 



dalle (3) e (4), per ogni n'^-ì't 



Ciò mostra la convergenza uniforme della fn(x). 



Dalla proposizione ora dimostrata segue il corollario: 



Se le funzioni fn{x) e f{c) sono nssolutameate continue e la prima 

 converge in ogni punlo di {a . h) verso la seconda in modo die sia 



la convergenza della fn è uniforme. 



Ed anche: Se la funzione f„{-i') converge in ogni punto di (a . b) 

 verso la funzione continua f(.v), ed il suo rapporto incrementale rimane 

 sempre maggiore (o minore) di un numero fiaito lisso, indipendente da n^ 

 allora la convergenza è uniforme ('). 



Se le funzioni integrabili q>a[.x) sono ugualmente limitate in un senso 

 in tutto {a , b) , ed è per ogni x di quest'intervallo 



(4) 



\fn{a:)-f{^;)\<e 



f„{x) - f{x) = fn{x) - f„{x) -I- f,,{x) - f{x) + f{x) — f{x) 



|/„(^) -/•(x)|<3*-. 



dove (p{x) è un'altra funzione integrabile, la. convergenza 

 è uniforme. 



a 



(*) Per vedere ciò basta considerare le funzioni fn{x) — kx , f(x) — kx. dove A 

 è un numero di cui rimane sempre ma^^iore (o minore) il rapporto incrementale della /„, 

 qualunque sia n. 



Kbndiconti. 1912, Voi. XXI, 2" Sem. 



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