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Matematica. — Sopra uri equazione integro-differenziale del 

 tipo parabolico. Nota I del dott. Luigi Amoroso, presentata dal 

 Corrispondeate Gr. Lauricella. 



1. L'equazione che ci proponiamo di studiare in questa Nota è la se- 

 guente : 



(1) u{x,t)^ P ^""^l;^^ '^{^ ,x) dì = g{x ,t) . 



Essa si presenta — come mostreremo in Note successive — nell'integra- 

 zione delle equazioni differenziali del tipo parabolico ; in particolare delle 

 equazioni e dei sistemi di equazioni differenziali, a cui soddisfano le com- 

 ponenti della velocità di un fluido viscoso che si muove di moto lento. 



Supponiamo che H(f , x) sia una funzione reale e simmetrica delle due 

 variabili reali ì,x, tale che l'integrale, in senso di Lebesgue, 



risulti, per 0<-a;-<l , 0<.y<-l, una funzione continua di x e di y, 

 non identicamente nulla, ed inferiore ad una quantità finita M: inoltre ogni 



integrale j (p{ì) ^{{ì , x) dì risulti una funzione finita e continuata di x, 



per 0 <.^<.l, sempre che <p{ì) sia nel campo (0 1) una funzione integra- 

 bile, insieme al suo quadrato in senso di Lebesgue. Ancora H(^ , x) costi- 

 tuisca nel quadrato di lato (01) un nucleo quasi definito, nel senso spiegato 

 al n. 4 della nostra precedente Nota II: Sull'estensione del teorema di 

 Ries2'Fisher. Dette Ai , , ... i valori eccezionali del nucleo H(f,^); 

 ^i{x) , <Pj(ar) , ... le funzioni eccezionali corrispondenti, in modo che si abbia 



<^n{x) -f X„ {'(Pnix) H(? ,x)dì = Q, 



le costanti Ai , Ag , .... sono tutte negative e si possono ordinare in una suc- 

 cessione procedente secondo l'ordine crescente dei loro valori assoluti : se, 

 come avviene in generale, esse sono in numero infinito, la successione Ai , 

 Aj , ... A„ , ... tende, al crescere di n al limite — oo . 



Supponiamo infine che g{x , t) sia una funzione reale, derivabile rispetto 



~ì)q(x t) 



a t, finita e continua insieme alla — per 0 <.l , ^o^^> es- 



sendo una quantità fissa. 



