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Ciò posto, diremo che u{x , ^) è un integrale regolare della (1) allor- 

 quando u{x,t) verifica alla (1); ed è inoltre una finita e continua per 

 0^x<.\, to^t sensa ecceszione, derivabile rispetto a ^, la derivata 



^""^^ ' essendo una funzione integrabile parzialmente rispetto ad x nel- 



l'intervallo (01), in senso di Lebesgue, qualunque sia t^Lt^. 

 Ci proponiamo di dimostrare: 



1°) Che un integrale regolare della (1) è determinato in modo unico 

 per tutti i valori di t superiori a t^^, allorquando si conoscono i valori che 

 esso assume per t = to- 



2°) Che la condizione necessaria e sufficiente, perchè esista un' inte- 

 grale regolare della (1), che per t = t^ assuma i valori di una funzione 

 data h{x) (finita e continua per 0<.a?<-l) è che sia risolubile l'equazione 

 integrale di prima specie 



Vd{^) H(| .x)d-§ = g{x , ^o) — h{x\ 



r integrale del primo membro essendo inteso nel senso di Lebesgue, tì{^) 

 essendo nell'intervallo (01) una funzione integrabile in senso di Lebesgue. 



3°) Che, se la condizione precedente è verificata, l'integrale regolare 

 della (1) che assume per t = tf,ì valori di h{x)^ può esser rappresentato 

 mediante la serie 



(2) g{x,t)-T_^n{a:)\Ke ' +U B„(t) ^^r , 



ove si è posto: 



(3) k„= V\g{x ,t,)-h{x)\(^n{x)dx , Mt)= V ^^^^^n{x)dx. 



La serie (2) converge assolutamente ed uniformemente rispetto alla x nel 

 campo (0 1 ), per qualunque valore di ^ _> • 



2. Teorema I. — Un integrale regolare della (1) è determinato in 

 modo unico per tutti i valori di t superiori a t^i allorquando si cono- 

 scono i valori che esso assume per t — t^. 



Evidentemente basterà dimostrare che un integrale regolare dell'equa- 

 zione omogenea 



(4) u{x , t) +y ^^^^ H(? ,x)d^ = Q 



che si annulla per t = to, è identicamente nullo per tutti i valori di f^to- 



