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Dalla (4) si deduce, moltiplicando ambo i membri per — ^ — dx , 

 ed integrando da 0 a 1 rispetto ad .x 



12- 

 2 -òt 



(('(«(X. , <))• rf^) H(f , ^) di dx = iK 



ed integrando rispetto a ^ da ad una quantità t\> io, ricordando che 

 che, per ipotesi è u{x , ^o) = 0, si deduce 



l riu{x,r)ydx-{- r ^^^f^Ei^,x)dux=o. 



Siccome H(^ , x) è per ipotesi un nucleo quasi definito cosi nessuno dei due 

 termini, che sono al primo membro può esser negativo : debbono allora essere 

 ambedue nulli, si ha così: 



r {u{x , t)y dx = 0 , 



Jo 



da cui segue, data la continuità della funzione u{x , t) 



u{x ,z)==0 0<-x<l,T^to. 



3. Teorema II. — Se u{x , t) è l'integrale regolare della (1 ) che 

 per t==to assume i valori di una funzione finita e continua h{x),u{x,t) 

 è rappresentabile mediante la serie (2) 



(2) u{x,t)=g{x,t)-^0„{x)\k„e^' '+ e"' B„(r) rfr , 



nella quale A, , , ... Xn , ... rappresentano la serie dei valori eccezionali: 

 (J>i{x) , ^ì{x) , ... ^n{x) , ... la serie delle funzioni eccezionali del nucleo 

 H(^ ,x)\ le kn e le B„ sono date dalle (3) 



(3) k^= \\g{xj,)-h[x))^„{x)dx , Mt)= ^7^^n{x)dx. 



La serie (2) converge assolutamente ed uniformemente rispetto alle varia- 

 bili X e t, qualunque sia x nel campo (01), e per qualunque valore di 



Sia infatti u{x , t) V integrale regolare della (1) che per t = to assume 

 i valori di h{x): poniamo 



(5) v{x , t) = g{x , t) — u{x , t) , 



v{x , t) sarà anche essa una funzione finita e continua per tutti 1 valori 



