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di X compresi tra 0 e 1 e per tutti i valori di to', derivabile inoltre 



rispetto a t , colla derivata — integrabile parzialmente rispetto ad x 



nel campo (01), per qualunque valore di t^to- Sostituendo nella (1), ri- 

 caviamo che v{x , t) può esser posta nella forma 



(6) =£|M-Ì^|i«|h(S,.)«, 



e da questa relazione, in forza di un teorema classico di Hilbert-Schmidt (0, 



si deduce che v{x ,t) può essere sviluppala in una serie convergente, as- 

 solutamente ed uniformemente, procedente per le funzioni eccezionali del 

 nucleo H(^ , x). Si può porre quindi : 



00 



(7) V{X J) = X ^«(^C) Qn(0 , 



la serie del secondo membro convergendo assolutamente ed uniformemente 

 per tutti i valori di x compresi tra 0 ed 1 e per tutti i valori di t ^1^. 

 Dalla (7) si deduce: 



(8) Q„(0 = r^(^ , l) fl'nix) dx . 



J 0 



Q) É il teorema seguente: ogni funzione finita e continua g{x), rappresentai 

 mediante un integrale definito della forma 



g{x)= e(^)W^,x)d^ 



è sviluppabile in una serie precedente per le funzioni eccezionali ^i{x) , ^^{x) , ... del 

 nucleo simmetrico H(? , x), convergente assolutamente ed uniformemente in tutto Vin- 

 tervallo (0 1) : e si ha 



g{x) = f #„(.r) ]g{S) dS=y \d{S) d^ = 



co /^i n 



A] , , ... essen io i valori eccezionali del nucleo H(f , x) corrispondenti alle funzioni 

 eccezionali ^i{x) , ^^ix) , ... Cfr. Schmidt {Entwickelung willkiirlicher Functionen nack 

 Systemen vorgeschriebener. Mat. Ann. 1907, § 9) ; il teorema si riferisce non solo al 

 caso in cui H(f,,r), 6{S) sieno funzioni finite e continue senza eccezione: ma facil- 

 mente si estende anche al caso in cui sia una funzione integrabile insieme al suo 

 quadrato nell' intervallo 0 1 , ed H(f > ^) verifichi alle ipotesi indicate al n. 1 della pre- 

 sente Nota (loc. cit., § 11, Schlussbemerkung). 



