Noi vogliamo qui estendere ed approfondire i concetti che ivi ci ser- 

 virono, e mostrare come il calcolo simbolico delle matrici, introdotto da 

 Cayley, e poi adoperato nel modo più semplice e più efficace da Giorgi (^), 

 conduca a stabilire, fra teorie in apparenza diverse, impensati collegamenti. 



Intanto chiameremo 1 la seguente matrice quadrata 



0 0 



1 



Essa corrisponde alla sostituzione identica. 



Per somma delle due matrici l|fly-|| e \\bij\\ intenderemo la matrice 

 ||<2y -f- ottenuta col sommare gli elementi omologhi. Il prodotto del 

 numero k, anche irrazionale, anche complesso, per ima matrice si definirà 



mediante la relazione Alia» 



la quale trasporta il fattore k sopra 



ogni elemento della matrice, Così, per esempio, la matrice quadrata 



A 0 ... 0 

 0 A ... 0 



0 0... 



si potrà indicare con • 1, o anche soltanto con X. 



Come prodotto di una matrice per un'altra simile intenderemo il risul- 

 tato dell'ordinaria composizione, eseguita linee per colonne. 



In base a ciò, se M è una matrice, noi possiamo senz'altro intendere 

 quale matrice sia determinata dal polinomio simbolico (p(M) = b -\- 

 bi M"*-! -j- 1- bm-i M -}- è^. È noto da Cayley che ogni matrice quadrata 



M = 



din 



Il (Xn\ 0"n% . . ' 



(^) Io debbo all'amicheTole frequenza col prof. Giorgi le nozioni fondamentali, in 

 parte note e in parte non ancora note, su questo calcolo simbolico, del quale egli ha, con 

 lucida visione, già da gran tempo affermata T importanza. Non è forse lontano il giorno 

 nel quale si potrà, con agevole nomenclatura e con chiara successione di facili concetti, 

 riunire in un breve e sostanziale capitolo della matematica le profonde ricerche del Pin- 

 cherle ed i geniali risultati che l'algebra del trascendente deve in questi ultimi tempi al 

 Volterra. E mi si permetta di togliere alla navigazione aerea un termine di paragone, 

 esprimendo l'augurio che la matematica moderna possa ben presto navigare sul cavo, 

 collegando la forza ascensionale delle più elette meditazioni coU'ubertoso terreno della 

 pratica; come avveniva nel sereno tempo d'Archimede, filosofo, ingegnere ed artista. 



