Ma ciò rappresenta ancora ben poco rispetto alla generalità dei risul- 

 tati che possono ottenersi dall'esposto ordine di considerazioni. 

 Intanto scriviamo l'equazione simbolica (7) come segue: 



(12) M"4-AiM"-i + --f-A„_iM + à„ = 0. 

 Essa potrà anche scriversi 



(13) M" = — A,M"-i A„_iM — A„. 



Ciò permette di esprimere in modo agevole, mediante M , , ... , M""^ , 

 le successive potenze di M . 



Se ora noi, per esempio, poniamo al posto del polinomio y(M), che ci 

 ha servito nella trasformazione precedente, la serie 



(14) 



M 



<p(M) = l+y4 



M3 



1.2 ' 1.2.3 



che simbolicamente esprimeremo con e" , allora il nostro procedimento e 

 l'accorto impiego della (13) ci condurranno ad un'equazione avente per ra- 

 dici i numeri e""' , é^"^ , ... , La deduzione di ciò è analoga alla deduzione 

 della (11), ma occorre un passaggio al limite, sul quale per ora non ci vo- 

 gliamo fermare. 



Partiamo, per esempio, da 



1 — x 2 

 — 1 — 1 - 



Le due radici di f{x) = 0 sono i e — i; l'equazione simbolica alla 

 quale dobbiamo assoggettare la relativa matrice M è 



M'-f 1 = 0, 



dunque otteniamo = — 1 , = — M , M* = 1 , 

 (14) diventa 



e allora la serie 



(15) 

 cioè 



1 + 



M 



1 



1 "~1 .2 3! ~*"4! 5! 



cos 1 -}- M sin 1 . 



Giimgeremo così all'equazione 



F(^) = 



cos 1 -f- sin 1 — ^ 2 sin 1 



— sin 1 cos 1 — sin 1 — ^ 



= 0, 



evidentemente verificata da e' = cos 1 -f-e sin 1, ceme da e~' = cosl — ?sinl. 



