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Ciò che evita, o, quanto meno, semplifica la questione della convergenza 

 dell'algoritmo (14) è la possibilità di giungere, mediante la (13), ad un 

 algoritmo contenente potenze di M di grado limitato. 



Anche per ^ , ed in generale per le potenze negative, si può adope- 

 rare analogo artifizio. Possiamo, infatti, dalla (12) dedurre 

 1 1 A A 



_ _ jyjn-l i±i -j^n-2 -^"-l _ 



M Ajj A.fi Art 



Tuttavia possiamo osservare che per la convergenza, specialmente se 

 anche f{x) si assoggetta ad analoga estensione (il che conduce ai determi- 

 nanti d'ordine infinito), si apre qui la porta a parecchie questioni di rigore. 

 Su queste ritornerò metodicamente, a miglior tempo, in un lavoro di mag- 

 gior mole. 



Matematica. — Sopra l'integrabilità dell'equazioni diferen- 

 siali della meccanica. Nota I dell'in^, dott. Giuseppe Armellini, 

 presentata dal Socio T. Levi-Oivita (0. 



1. In questa Nota io mi propongo lo scopo precipuo di estendere due 

 importanti teoremi sull'integrabilità dell'equazioni differenziali del moto di 

 un punto, sottomesso all'azione di una forza centrale ; dovuti il primo a Ja- 

 cobi (*), il secondo al Mestschersky (') mostrando che essi non sono altro 

 che due casi particolari di un unico teorema assai più generale^ che passo 

 ora ad enunciare e dimostrare. 



A tale scopo immaginiamo di avere un punto P, che per semplicità 

 supporremo di massa unitaria, mobile sotto l'azione di una forza F, la cui 

 linea passi sempre per un centro fisso 0 ; poiché, come è noto, l'orbita di P 

 giace in un piano a passante per 0, scegliendo quest'ultimo punto come 

 polo, potremo sempre riferirla ad un sistema di coordinate polari r <ì ^. Ciò 

 posto, io dico che ha luogo il seguente: 



Teorema. « L'equazioni differenziali del moto del punto P, sono sempre 

 « integrabili con sole quadrature, tutte le volte che la forza P ha la forma, 



» F = ,, ; dove cp è una funzione della sola d-, t è na tempo e a 



r^{at-\-b) 



it e b sono costanti arbitrarie ». 



(') Pervenuta all'Accademia il 29 luglio 1912. 



(') De motu puncti singularis, Creile, Journal fur die reine und an^ewandte Ma- 

 thematik, Band 24; vedi anche Jacobi's Gesammelte Werke, Band IV'. 

 {^) Astr. Nachr., Band 159. 



