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Questo unico teorema, come si vedrà, racchiude in sè, quali casi par- 

 ticolari i due risultati del Jacobi e del Mestschersky ; considerandone l' im- 

 postanza, io ne darò due dimostrazioni : la prima mostrando l'integrabilità 

 dell'equazioni di Lagrange a cui perverremo; l'altra facendo uso del fecon- 

 dissimo metodo di trasformazioni, introdotto in analisi e in meccanica prin- 

 cipalmente dall' Appell nella sua classica Memoria: De L'homographie en 

 mécaniqiie (')• 



2. Prendiamo sul piano a un sistema di coordinate rettangolari xy e 

 uno di coordinate polari rt^, con l'origine comune in 0; e in modo che 

 l'asse X coincida con l'asse polare da cui vengono contate le anomalie 

 Indicando al solito con X e T le componenti della forza F sugli assi x q y; 

 e con T la semiforza viva di P, avremo : 



(1) { X = ^-^^^4^ cos ^- a; = rcos^ 



Y = ^ , sen ^ y = r sen d^. 



r\at + è) ^ 



Scegliendo quindi, come parametri Lagrangiani e ^2, le coordinate 

 polari r % i)-^ l'equazioni fondamentali del moto di Lagrange: 



divengono, indicando al solito con apici le derivate rispetto al tempo: 



La seconda delle (3) ci dà subito: 



(4) r'^' = e , r=|/^ 



— — — il /— ^" 

 dt 2 (/ ^'^ 



(5) { ^ — 

 de 4 2 |/ i)'^ 



(') V. American Journal of Matematics, voi, XII; vedi anche: Comptes Eendus, 

 tomo CVIII. 



