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sostituzioni che trasformano la prima delle (3) nella: 



^ éy^"> 2 ^^.'5 + b) \'c^ 



equazione differenziale del terzo ordine in contenente tutte le derivate, 

 la funzione e la variabile indipendente t . Dico che il suo integrale può 

 ottenersi con sole quadrature. 

 Poniamo a tale scopo: 



rìt ini _L h\1' ' 



dt ~ {ai + bY 



dove è una funzione della sola ^ che si tratta di determinare. 



Differenziando la (7) abbiamo con facili riduzioni: 



d^& dp. ,»(^) 



^ ' dt^ {at-\-bY (at-\-by 



^ ' dt^ ~ {at + bf d^' + (ut 4- br \d^ ) 



(ai + bf d^- {at + by ' 



ciò che trasforma la (6) in 



nrn i _ l /^^\' _i_t/;79V 



^ ' 2y)^d^^ 4y[f4^~)j\d^l ^^^^^ a\U- 



che può essere anche scritta sotto la forma più semplice : 



(H) |,[frt5y] + ,/;;w=-^. 



Siamo così giunti ad un'equazione lineare, con secondo membro, nella fun- 

 zione y fi{^) la cui soluzione è data dall'espressione: 



(12) |/ju(.:^) = A cos ^ + B sen ^ + K(^) , 



dove A e B sono costanti arbitrarie, e K{^) può ottenersi, come è noto 

 dalla teoria delle equazioni differenziali lineari, con sole quadrature. 

 Ciò posto dalla (7) si ha separando le variabili e integrando: 



