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e quindi risolvendo rispetto a ^9^, dopo eseguite le quadrature; 

 (14) ^ = x(j{t) 



espressione che sostituita nella (4J ci dà: 



(15) 



La (14) e la (15) risolvono il sistema differenziale (3) e in esse compari- 

 scono, come appunto doveva avvenire, quattro costanti arbitrarie; la costante 

 delle aree c, la costante Ci introdotta dalla funzione ip{t), e le due costanti 

 A e B che entrano nella fi{^). 



Siamo quindi giunti ad integrare l'equazioni di Lagrange relative al 

 problema studiato, con sole operazioni di quadratura c. d. d. 



Ed ora, prima di passare alla seconda dimostrazione del teorema, che, 

 come ho già detto, io fondo sul metodo delle trasformazioni omografiche in 

 meccanica, mi sia permesso di riassumere in poche linee, i risultati a cui 

 perviene il fondatore di questo metodo, l'Appell, nella Memoria citata. 



I) Tutte le volte clie si sa trovare il moto di un punto Q di coor- 

 dinate Xi X2 ... .2?3n in un (o il moto di un sistema di n punti nello 

 spazio ordinario) sotto l'azione di uaa forza F. dipendente solamente dalla 

 posizione del mobile Q, se ne deduce per mezzo della trasformazione omo- 

 grafica : 



' * — ir m m 



~r" ^2 "^S ~r Xzn ~p <^3n+l 



(?■ = 1 , 2 , ... 3w) 



sostituendo contemporaneamente il tempo t , con un nuovo tempo T definito 

 dall'equazione: 



(17) dT = - —-^ j- r^-, 



(«1 iCi + «3» Xzn + «3»+! ) 



il moto di un nuovo punto Xi X2 ... Xs,, sollecitato da una forza Fi dipen- 

 dente solamente dalla posizione del mobile. 



La traiettoria del secondo punto è la trasformata omografica di quella 

 del primo ; la retta secondo la quale è diretta la forza F, è, nell' istante T, 

 la trasformata omografica della retta secondo cui è diretta la forza F nel- 

 l' istante t. 



II) Questa trasformazione è la sola per la quale la forza Fi non 

 dipende dalla velocità, qualunque sia la legge della forza F in funzione 

 della posizione del mobile Q. 



