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Ciò posto l'equazioni differenziali del moto del punto P sul piano a» 

 riferito agli assi rettangolari xy con l'origine 0, sono: 



^ d'y yg>(^) _ 



di^ r\at + è) 



sistema di cui dobbiamo dimostrare l' integrabilità. 



A tale scopo eseguiamo la trasformazione, analoga per molti rispetti a 

 quella d'Appell: 



l\Q) X = — - — Y = — - — T = 



^ at-\-b ' at-^b ' a{at-\-b) 



da cui ricaviamo con brevi calcoli e riduzioni: 



. dx . dX . d^x 1 d^X 



+ + ' -dF^i^FTW^' 



D'altro lato chiamando con e R l'anomalia e il raggio vettore del 

 punto Pi di coordinate XT, immagine di P abbiamo : 



(22) g>(^) = 9>(^arc tg ^) = gp (^arc tg |) = ^{6) , 



(23) = {x^ 4- y^y = (at + bY (X^ + T^)^ — 



e quindi, operando sulle (18) le sostituzioni (20), (21), (22), (23), otte- 

 niamo l'equazioni differenziali del moto del punto immagine Pi sotto la 

 forma : 



1 tì^^X , X ^ 



Ma le (24) sono integrabili ('); avremo dunque: 



\ X = (Pi(T,C, ,C,,C3,C4) 

 I Y = 0,{T , C. , C, , Cs , C,) , 



(25) 



e quindi 



jy=(«( + S)*,[;^jjJ^,C,,C„C. ,C,], 



(26) 



(') V. Appell, Traité de Mfix. Rai., I, pag. 386 (Troisième éditioD). 



