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consegue allora, posto i = to, 



X' ^^ )t^t ' ^) = ' - ' 



e quindi d{^) = ( ^^^^ ' \ verifica alla (11), ed è inoltre (in forza della 



definizione di integrale regolare) una funzione integrabile rispetto a in- 

 ai suo quadrato, in senso di Lebesgue, nell'intervallo (01). La condizione 

 enunciata è quindi effettivamente necessaria. 



Dimostriamo che è sufi&ciente. Per ciò supponiamo che l'equazione (11) 

 ammetta una soluzione 0(?) integrabile, in senso di Lebesgue, insieme al 



suo quadrato, nell' intervallo (0 1). Poniamo y{x , t) = ' — ; perle ipo- 



tesi fatte (cfr. n. 1 della Nota C), y{x , t) è una funzione finita e continua 

 per 0 <.,x'<.l, qualunque sia t^Lt^. Ciò fatto, costruiamo le espressioni 



(12) A„= \ \g{xJo) — h{x))On{x)dx=fj'6{^)TÌ{^.x)0„{x)d^da;, 



(13) B„{t)= r ^^^^^0„{x)da;= ry{x,t)^nix)dx, 



>-J 0 ~{iOO u 0 



(U) Q4^) = A„e + e ' 'B„ÌT)dT 



«=1,2,... 



A questo punto occorre applicare i risultati ottenuti nelle nostre due Note 

 precedenti, (A) e (B), e precisamente il risultato contenuto nel teorema della 

 Nota (B). Ciò è lecito perchè le funzioni <Di{x) ,<t>2{x) , .. , e le costanti 

 Xi , A2 , ... che figurano nelle espressioni (12), (13), (14), sono rispettivamente 

 le funzioni eccezionali ed i valori eccezionali di un nucleo H(? , x), che gode 

 delle proprietà presupposte al n. 4 della stessa Nota (B), e analogamente per le 

 funzioni y{x,t) ,6{x). Possiamo così affermare che esiste una funzione v{x , t), 

 fi,nita e continua per 0 <. £C 1 , ^ ^ > derivabile rispetto a t, colla de- 



rivata — integrabile parzialmente rispetto a x , insieme al suo qua- 

 drato, in senso di Lebesgue, nell'intervallo (01). qualunque sia t^to, 

 e per la quale si ha: 



(15) Clvix , t)J dx=f {Cl„{t)y- {'vix , t) <Pm{x) dx = Q^(0 



Jo '^i ^^^^ ^ ^"^^ 



?ra = 1 , 2 , ., 



