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la serie ^ (Qn(0)^ convergendo uniformemente rispetto a t, per t ^ to (^). 

 Essendo cosi stabilita l'esistenza della funzione v{x , t), poniamo 

 (16) u{x , t) == g{x , t) — v{x , t). 



Dico che u{x , i) è t'integrale regolare della (1) che per t = Iq assume 

 i valori di h{x). Osserviamo perciò anzitutto che, in forza della definizione 

 (16), u{x,t) è una funzione finita e continua per 0 a; <. ^ , ^ _> ;'o , deri- 



ÌJ/ ^ OC t ) 



vabile rispetto a t colla derivata — ^ — integrabile parzialmente rispetto 



a X, insieme al suo quadrato, in senso di Lebesgue, nell'intervallo (01), 

 qualunque sia t ^to. Se quindi riusciamo a provare che esso è un integrale 

 della (1), potremo senz'altro affermare che è un integrale regolare. 



Passiamo a dimostrare che u{x,t) è effettivamente un integrale della (1). 

 Perciò osserviamo che dalla (14), derivando rispetto a ^, si ottiene imme- 

 diatamente : 



Q„(^) = T Q«(0 — ì~ , t) ^n{w) dx 



n = \,2,... 



^(/{x ^) 



Sostituiamo per y{x , t) l'espressione — f — , per Q„(i') , Q^(^) le espres- 

 sioni (15), avremo: 



(17) j\{x , t) 0^{x) dx = j- {'(-^"^^ - ^^^) '^n{x) dx = Q„(0 



n = l .2, ... 



Consideriamo l'espressione: 

 = r'b(x , t)ydx - 2 f ' ^vix , t) (^^1^ _ , ^) dx 



Dalla prima delle (15) raccogliamo: 



J-l ce 

 [V{x,t)j dx = ^{qn{t)r. 

 0 n=l 



(') In sostanza, la funzione v{x , t), di cui viene indirettamente provata l'esistenza, 



00 



altro non è che la funzione rappresentata dalla serie ^ ^n{oo)QJit}, e che figura alla 

 formula (1) della Nota (C), 



