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D'altra parte, applicando un noto teorema di Hilbert e tenendo presenti le 

 (17), si ha: 



e finalmente, per il teorema di Hilbert-Schmidt 



Ne segue 



ovvero 



re=l 



J. r^-^'^^-Jo — — ^-)^(^'^)^^! 



Osserviamo che, secondo quanto è stato detto, v{x, t) è una funzione continua 

 per 0<.ic<-l, qualunque sia t:^t^. D'altra parte / ^-^(^ ' — "^^(^ ■ 0 \ 



è una funzione integrabile parzialmente rispetto a insieme al suo qua- 

 drato in senso di Lebesgue, nell'intervallo (01), qualunque sia t^U: 

 onde, per le ipotesi contenute al n. 1 della Nota (A), relativamente al 

 nucleo H(f , x), si ha che anche 



è una funzione continua per 0 <. 1. Segue allora, dalla equazione pre- 

 cedente, 



(18) 



H(f , x) d'§, 



da cui, tenendo presente che u{x , t), secondo la (16), è uguale alla differenza 

 g[x , t) ~ v{x , i), si raccoglie immediatamente che u{x , /) è un integrale 

 della (1). 



