Resta da prosare che, per t = to, si ha u{x , U) = ]i{x). Perciò osser- 

 viamo che dalla (18) si deduce, tenute presenti le (15): 



n=l ^0 71=1 



D'altra parte, siccome per ipotesi la funzione g{x . t(,) — H^) è rappresen- 

 tabile mediante l' integrabile definito | d{^) H(J , x) , così si avrà an- 



. '0 



Cora, tenute presente le (12) e (14), 



(20) g{x , Q - h{x) = \ (Pnix) lg{i- , U) - A(f)] a)„(f) d^ 



00 



71=1 



I due sviluppi (19) e (20) coincidono; si ha quindi 

 (21) v(x , to) = gix , to) — h(x) , 



da cui segue, senz'altro, uix , to) = ìi(x). 



6. Nei teoremi I, II (della Nota (C), e nel teorema III (della presente 

 Nota) sono contenuti tutti i risultati, enunciati al n. 1 della Nota (G). 



Resta dunque stabilito che la condizione necessaria e sufficiente perchè 

 esista un integrale regolare della equazione 



(1) u{x,t)+ f ^^^^^/^ H(^x) d^ = g{x,t) 



che per t — to assuma i valori di una funzione data finita e continua h{x), 

 è cùe sia risolubile l'equazione integrale di prima specie 



rn{^)-R{^ ,x)d.^ = g{x ,to) — h{x), 



la funzione incognita 6(J) dovendo essere integrabile insieme al suo qua- 

 drato, in senso di Lebesgue nell'intervallo 01 (teorema III). Tale integrale 

 è unico (teorema I). Esso può essere rappresentato mediante la serie 



^- L K(t—to) et K{t—r) 



g{x .t) — 2_^n{x)]k„e + e B„(t) t^z 



A» = [_g{x , to) — /i(x)] (l>n{^) dx 



B„(^)= \' ^^^^Q>n{x)d.X, 



