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convergente assolutamente ed uniformemente rispetto alle variabili x , t qua- 

 lunque sia X nel campo 0 1 , qualunque sia t >- io (0- 



7. Osseroadoiie 1. — Non vogliamo mancar di osservare come l'equa- 

 zione (1) — secondo il concetto classico di Volterra — può esser conside- 

 rata come limite di un sistema di infinite equazioni differenziali con infinite 

 incognite. Supponiamo diviso l' intervallo 0 , 1 in parti uguali Qa^ , ai a2 , 



... , «„ 1 ; detti Ui{t) , u.'i{t) , gi[t), i valori che le funzioni u[x , t) , , 



g{x,t) assumono per .r = a;: e detti a,fe i valori che H(s^ , ^) assume per 

 ^ = cci,x = ak, l'equazione proposta (1) può considerarsi come il limite 

 del sistema differenziale 



(22) Uiit)-\-yajiul{i) = gi{t) 



y = 1 , 2 , ... w . 



Il metodo che abbiamo applicato per l' integrazione dell'equazione trascen- 

 dente (1) non differisce in sostanza dal metodo classico di D'Alembert per 

 l'integrazione del sistema (22). 



8. Osservazione II. — Lo studio fatto per l'equazione (1) può esten- 

 dersi — senza che si incontrino difficoltà — al caso in cui, invece di una 

 sola variabile tT, si considerino più variabili x,y,z. Esso quindi si estende 

 direttamente alla equazione 



(23) u{x,y,z,t)^ f ^^(^ - ^'^^ ^{li,ri,^\x,y,z)d^dr,dt = 



= g{x ,y ,2 ,t), 



S essendo nello spazio delle variabili x ,y . s un campo fisso a tre dimen- 

 sioni (che non varia col variare di t). 



Se, come vogliamo supporre, la funzione g{x,y,2,t) ammette tutte 

 le derivate fino a un certo ordine n rispetto alle variabili x ,y , s , e tali 

 derivate sono, come g{x , y , z , t), finite e continue in tutto lo spazio S e 

 per tutti i valori di t^t^; se inoltre E.{^ , rj , t\x , y , z) è una ftmzione 

 tale, che, , , t) essendo una funzione integrabile in senso di Lebesgue, 

 insieme al suo quadrato, entro S, le derivate parziali, fino a un certo or- 

 dine n 



^,^,»> = 0,l,2,3,4,...w 



X /il -\- V = n , 



(') La convergenza di questa serie risulta indirettamente in forza dei teoremi II 

 e III: direttamente è stabilita, al lemma II della Nota (B). 



