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derivino da un potenziale U, le equazioni indefinite del movimento del li- 

 quido possono scriversi sotto la forma ('): 



(1) F" = gvad{\]-p), 



(2) divP' = 0, 



ove P' , P" indicano rispettivamente le derivate prima e seconda di P ri- 

 spetto al tempo t . 



La (2) altro non è che la condizione di incompressibilità della massa 

 liquida. 



A queste equazioni indefinite bisogna poi ancora aggiungere una condi- 

 zione ai limiti. Sia /(P , i) = 0 l'equazione della superficie 2 che limita 

 la massa liquida. In ogni punto P di detta superficie, la derivata totale 

 di f rispetto a t sarà nulla: quindi 



od ancora {0. v., pag. 50, 



(3) /--{-grad/X P' = 0, (su 



/" essendo la derivata parziale di / rispetto a l . 



Il problema si riduce alla determinazione della velocità P' e della pres- 

 sione p (che sono funzioni delle variabili indipendenti P e t), per mezzo 

 delle (1), (2), (3). 



2. Supponiamo che la velocità P' sia funzione lineare (ed omogenea) 

 del vettore P — 0, ove 0 è un punto fisso. Assumiamo cioè: 



(4) P' = «(P — 0) , 



ove a è un'omografia vettoriale, funzione solo di t (e non di P). 



È facile il vedere che. in tale ipotesi, le linee vorticose sono, in ogni 

 istante, rette parallele fra loro. Infatti, l'equazione differenziale delle linee 

 vorticose è: rotp P'A</P = 0. Ora, ricordando anche la (4), si ha: 



dP' 



{a) rotp P' = 2V 5^ = 2V«, 



aP 



dunque: YccAdF = 0; perciò, integrando: VaA(P — Po) = 0, essendo Po 

 un punto fisso (posizione iniziale di P) . c. d. d. 



Sostituendo poi la (4) nella (1), si ha: «'(P — 0) -|-«P'=gi'ad(U — p); 

 ovvero, per la (4) stessa, 



(5) (a'-}-«2)(P — 0)-=grad(U— jo). 



(') Cfr. ad esempio Burali-Forti e Marcolongo, Eléments de calcul vecloriel ecc., 

 pp. Ì40-141, Paris, A. Hermann, 1910; oppure: Marcolongo, Theorel.ische Mer.hanik, 

 Bd. II, S. 310, 312, Leipzig, G. B. Teubner, 1912. 



Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 2° Sem. 3.5 



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