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Eliminiamo p da quest'equazione; si ha da essa: 



li grad( U — p) ^ 



a -\- = 



e poiché il 2° membro è una dilatazione (0. v., pag. 54, [15]), ne segue 

 la proprietà : 



(6) V(«' 4- «^) = 0. 



La (6) potrebbe pure dediirsi subito dalla nota equazione idrodinamica di 

 Helmholtz ('). 



Dopo ciò, dalla (5), ricordando una nota formula {0. v., pag. 52, [9]) 

 si deduce l'integrale seguente: 



(7) u— jo = i(P — 0) X («' + «^)(P — 0) + A, 



ove h è una funzione arbitraria di t. 



Sostituendo poi la (4) nella (2), si ottiene (0. y., pag. 57, [10]): 



(8) I.« = 0. 

 Sostituendo del pari nella (3), risulta: 



(9) /"-f grad/x a(P — O) = 0, {sul). 



Ad ogni omografia a, funzione di t. che soddisfa alle (6), (8), (9), corri- 

 sponde un movimento possibile del liquido limitato dalla superficie 2. La. 

 pressione idrodinamica, in ogni punto del liquido, è poi data dalla (7). 



8. Supponiamo, ora, che la super.icie 2 sia un ellissoide, avente per 

 centro il punto fisso 0 ; potremo perciò porre : 



(10) /XP,0 = (P — 0)Xer(P — 0) — l--=^0. 



ove cr è una dilatazione, funzione di i cui 3 invarianti debbono necessa- 

 riamente esser positivi {0. v-, pp. 9, 11, 12). 



Sostituendo nella (9), si ha {0. v., pag. 52. [9]): 



(P — 0) X (r'(P — 0) + 2ff(P — 0) X a(P — 0) = 0, (su 2), 



od ancora : (P — 0) X ((t' + 2Ga) ( P — 0) = 0, (su 2), 

 la quale, dovendo essere soddisfatta qualunque sia la direzione del vettore 

 P — 0, esprime {0. f., pag. 18, [2]) che l'omografia e' -f- 2o'a deve essere 

 assiale, cioè: e' -]- 2D(o'a) = 0, che può ancora scriversi: 



(11) or' -f (r« -I- Ka . <T = 0. 



(') Cfr. la mia Nota: Dimostrazione assoluta delle equazioni classiche dell'Idrodi- 

 namica, eq. (12). Atti della E. Accademia dello Scienze di Torino, voi. XL7, 1910. 



