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soide, ha il valore noto 4SA/5 ; il 1° termine, ricordando la (4) e il teo- 

 rema di commutazione (0. v., pag. 18, [6]), si trasforma in 



r (P — 0) X Ka . «(P — 0) t^S , 



che si calcola con apposita formula (cfr. Appendice), e vale S . Ii(Ka.a.o'"')/5 ; 

 perciò, sostituendo, si ha (poiché il volume S è costante): 



Ii(Ka.a.o-') — 4A =: cost. 



Questa formula concorda colla (52i) dello Stekloff. 



Un altro integrale si può ottenere come segue. Operando sulla (12) a 

 destra con cr~', ed osservando che il prodotto /^C"' è una dilatazione, si ha: 



V(«'(r-') + V(aV-')==0; 



operando poi sulla (IT) a sinistra con a, ed osservando che aa~^Ka è 

 una dilatazione, risulta: 



— V [«(ff-0'] + V(«V-0 = 0 ; 



perciò, sottraendo: 



V [«'o--' + a(<X-i)'J = V(ao-')' = 0 , 



cioè, integrando: 



(13) V(a(r-i) = cost (1). 



Lo Stekloff ha soltanto trovato che la lunghezza del vettore V(ao~^) 

 è costante : il che è espresso dalla sua formula (50), la quale proviene dal 

 sistema (46) che, per essere ottenuto, richiede un calcolo assai lungo (natu- 

 ralmente non riportato dall'autore). 



È facile il vedere che l'integrale (13) non è altro che l'integrale delle 

 aree. Infatti, tale integrale è espresso dalla eguaglianza : 



r(P — 0)AP'<^S = cost, 



cioè, per la (4), (P — 0)Aa(P — 0) dS — cost ; e calcolando l' integrale 



con apposita formula (cfr. Appendice), si ritrova appunto la (18). 



Infine si ottiene un altro integrale, ricorrendo all'integrale di Helmholtz (*), 

 che esprime la conservazione del moto vorticoso. Tale integrale, ricordando 

 la {a) del n. 2, si scrive: 



(14) Va = AV«o, 



(') Applicando la formula, facile da dimostrare : V{^aK^) = R^Va (a,^ omografie 

 qualunque), è agevole il vedere che la (13) può anche p^rsi sotto la forma: ffV(<ra) = cost. 



(^) Cfr. la mia Nota già citata, eq. (14); nel 2" membro di questa equazione va 

 scritto rotp^Vo, e non rotp^v. 



