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Più tardi il prof. L. Tonelli, in ima Nota dello stesso titolo (^), ha ri- 

 conosciuto che l'armonicità di una funzione consegue anche da condizioni 

 meno restrittive di quelle imposte dal prof. E. E. Levi, e precisamente ha 

 dimostrato che una funzione delle due variabili reali x ,y è armonica in 

 un campo G, se è integrabile super /ìcialmenle in C , e se la media dei suoi 

 valori sopra ogni circonferenza che cada complelamente in C, e su cui 

 sia linearmente integrabile, è uguale al valore che essa assume nel centro 

 della circonferenza medesima. 



Io mi propongo di restringere ancora tali condizioni, e precisamente di 

 dimostrare che se una funzione u{x , y) delle due variabili reali x ,y è 

 integrabile superficialmente in C, ed ha sopra ciascuna coppia di circon- 

 ferenze concentriche, cadenti completamente in G e su cui sia linearmente 

 integrabile, la stessa media ài valori, la funzione v{x , y), che in ogni 

 punto di C assume per valore la media dei valori della u{x ,y), su qua- 

 lunque circonferenza avente centro in quel punto — e su cui la u{x , y) sia 

 linearmente integrabile — , è una funzione armonica, e non può differire da 

 u{x , y) se non in un gruppo di punti di misura nulla. Siccome poi dalle 

 condizioni imposte in questo teorema alla u{x , y) risulta (per le stesse consi- 

 derazioni svolte dal prof. E. E. Levi in principio del n. 1 della Nota citata) 

 che la u{x , y), sulle aree di ciascuna coppia di cerchi concentrici e cadenti 

 completamente in G , ha la stessa media di valori, basterà evidentemente 

 dimostrare che se una funzione u{x , y) delle due variabili reali x ,y è 

 integrabile superficialmente in C , ed ha sulle aree di ciascuna coppia di 

 cerchi concentrici e cadenti completamente in C la stessa media di valori, 

 la funzione v{x , y), che in ogni punto di C assume per valore la media 

 dei valori di u{x , y) sull'area di qualunque cerchio avente centro in quel 

 punto e cadente completamente inC, è una funzione armonica, e da u{x,y) 

 non può differire se non in un gruppo di punti di misura nulla. 



2. Supponiamo che u{x , y) sia una funzione delle due variabili reali 

 x,y, integrabile superficialmente in C. ed avente, sulle aree di ciascuna 

 coppia di cerchi concentrici e cadenti completamente in C, la stessa media 

 di valori, e che v{x , y) sia la funzione che in ogni punto di C assume per 

 valore la media dei valori di u(x ,y) sull'area di qualunque cerchio avente 

 centro in quel punto e cadente completamente in C. Avremo: 



(') Rendiconti della E. Accademia dei Lincei, voi. XVIIl, serie 5*, 1° sem., fase. 11, 

 1909, pagg. 5^7 e sg. 



u{x' , y') dx cly' 



G{x,y;r), 



