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dove G{x ,y;r) indica un cerchio di centro in x ,y , eadente completamente 

 in G, ed r il suo raggio; ed avremo anche: 



Ora considerando, secondo i concetti introdotti dal sig. Lebesgue in 

 una Nota recente (') l'integrale di u{a; , y) come funzione di insieme (^), e 

 ricordando che una tale funzione ammette derivata (^) in tutto il campo 

 escluso al piìi un gruppo di punti di misura nulla e che tale derivata coincide 

 con u{x , y) fuorché in un gruppo di punti di misura nulla (**) risulta subito 

 che v{x , y) non può differire da u{x , y) che in un gruppo di punti di mi- 

 sura nulla, poiché v{x , y) coincide colla derivata là ove questa esiste (^). 



3. Dai risultati precedenti consegue che 



e da questa relazione, ripetendo le considerazioni svolte dal prof. E. E. Levi 

 al n. 1 della Nota citata, colle semplici osservazioni del prof. Tonelli, con- 

 segne subito che la v{p: , y) è armonica. Così è dimostrato quanto si voleva. 



1. Il prof. V. Volterra (®) ha dimostrato che una funzione u{x , y) con- 

 tinua delle due variabili reali x ,y è armonica in un campo C in cui 

 valga il teorema di esistenza delle funzioni armoniche, se u{x , y) assume 

 in ogni punto un valore uguale alla media dei valori che essa assume 

 sopra una sola circonferenza con centro in quel punto, purché, considerando 

 tale circonferenza come corrispondente a quel punto, ogni punto di C ri- 

 sulti connesso al contorno 



(') Sur Vintegration des fonctions discontinues. Annales de l'ecole Normale Sup. 

 Paris, 1910, toni. 27, serie 3*, pagg. 361 e sg. 

 (^) V. Lebesgue, loc. cit., pagg. 380 e sg. 

 (^) V. Lebesgue, loc. cit., pagg. 387, 395. 

 (*) V. Lebesgue, loc. cit., pagg. 487-488. 



(') Per questo basta osservare che una famiglia di cerchi è una famiglia di campi 

 regolari secondo Lebesgue. 



(^) V. Volterra, Alcune osservazioni sopra proprietà atte a individuare una fun- 

 zione. Kendiconti della R. Acc. dei Lincei, voi. XVIII, serie 5*, 1° sem., fase. 6, 1909, 

 pagg. 263 e sg. 



(') V. Volterra, loc. cit.. n. 4. . 



G(x ,y;r) . 



G{x ,y\ r) 



II. 



