— H18 — 



Io mi propongo di dimostrare che quest'ultima condizione è superflua: 

 e, per dare maggior portata alle mie considerazioni, comincierò col dimostrare 

 il teorema I della Nota citata del Volterra, sostituendo alla connessione al 

 contorno una condizione meno restrittiva. 



2. Semi-connessione. Premessi tutti i concetti espressi nei nn. 1, 2, y, 4 

 della Nota del Volterra, e indicata con ò{k) la minima distanza di un punto 

 A dai punti del contorno di C , io dirò che i punti interni di C sono semt- 

 connessi al contorno se per ogni punto A interno di C è possibile trovare 

 un sèguito di punti connessi (') 



A , A' , A" , A'"; . . . 



di cui faccia parte un punto A'''' per cui sia 



(^(A^^') < Ò{k) . 



3. Io passo a dimostrare che una funzione u{x , y) finita e contìnua 

 in C è determinata quando 



1°) in un punto A interno al campo si conosce 



^ P[m , M(A)] — z*(A) 



M(A) 



2°) si conoscono i valori di U al contorno di C. 

 3°) tutti i punti interni a C sono semi-connessi al contorno (^). 

 Per dimostrare questo teorema basta dimostrare che se u è nulla al 

 contorno e se per tutti i punti interni si ha: 



^ Y[u , M(«)] — m(A) = 0 



M(A) 



u è nulla interamente in C . 



Ora se u non fosse nullo internamente a C, dovrebbe aver un massimo o 

 un minimo diverso da zero. Supponiamo che tale sia p. es. il massimo e 

 indichiamolo con G. Sia K il gruppo dei punti di C in cui è m = G e A 

 il limite inferiore delle minime distanze dei punti di K dal contorno di C. 

 Se fosse ^ = 0 sarebbe facile vedere, per la continuità di m, che G = 0 e 

 ciò contro l'ipotesi. Supponiamo dunque 2 >» 0 . Poiché K è un gruppo eviden- 

 temente chiuso esiste un punto A di K per cui 8{k) — X. Ma per ipotesi 

 esiste una successione 



A ,A', A" A'" 



(') V. Volterra, loc. cit., n, 4. 



(^) Ved. il teorema I ii. 5 della Nota del Volterra. 



