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 di cui fa parte un punto A^"" per cui è 



e poiché evidentemente in tutti i punti A' A'' A'" è u = G {^); anche 



in A'^' sarebbe u = Gr, ed A'''' sarebbe un punto di K, mentre J(A^"") << A. 

 Consegue che non può essere 2 =f= 0 , ed infine clie il teorema è vero. 



4. Dal precedente teorema generale consegue subito quanto io mi sono 

 proposto in principio del n. 1 di questo capitolo, ossia che una funzione 

 u{x , y) continua delle due variabili reali x è armonica in un campo 

 C in cui valga il leorema di esistenza delle funzioni armoniche, se u{x , y) 

 assume in ogni punto un valore uguale alla media dei valori che essa 

 assume sopra una sola circonferenza con centro in quel punto. 



Ed invero, la circonferenza aggregata ad un punto qualsiasi A interno 

 a C ha certamente qualche punto A' per cui 



6{M)<ò{k). 



5. Il prof. Tonelli al n. 2 della Nota citata, si propone di dimostrare 

 che una funzione u{x , y) continua delle due variabili reali x ,y è armo- 

 nica nel campo C in cui valga il teorema di esistenza delle funzioni 

 armoniehej se u{x , y) assume in ogni punto di un gruppo J di punti dap- 

 pertutto denso in C , un valore uguale alla media dei valori che essa 

 assume sopra una sola circonferenza con centro nel punto, purché in ciascun 

 punto di C non appartenente ad J il Umile inferiore dei raggi delle cir- 

 conferenze relative ai punti di J , sia maggiore di zero, ed i punti di J 

 siano connessi al contorno. 



La dimostrazione che ne dava il Tonelli non era finora completa, perchè 

 si limitava a dimostrare che per ogni punto A di C esiste un cerchio con 

 centro in A sulla cui circonferenza la media dei valori ài u h uguale al 

 valore che u assume in A , mentre che, per dedurre dai risultati del Volterra 

 la conclusione voluta, sarebbe stato necessario provare anche la connessione 

 col contorno di ciascun punto di C, e non so se questo sarebbe stato pos- 

 sibile. Però in seguito ai risultati qui da me ottenuti noi possiamo affermare 

 che il teorema di Tonelli è vero, e che anzi esso è vero anche se si toglie 

 l'ipotesi che ogni punto di J sia connesso al contorno. 



NOTA. — Nel lavoro di Lebesgue (^) che ho avuto occasione di citare, 

 e i cui risultati sono stati di così grande eflìcacia nello studio che ho fatto 

 nel cap. 1, e che nella sua prima parte è una geniale estenzione di alcuni 



(') V. Volterra, loc. cit., dimostrazione del teorema I n. 5. 

 f ) V. Lebesgue, loc. cit., pag. 362. Nota (2). 



Ekndiconti, 1912, Voi. XXI, 2' Sem. 42 



