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fra le due curvature < ''he scriveremo sotto la forma superiore, esclu- 

 dendo soltanto il caso delle eliche cilindriche. Geometncamente poi la 

 proprietà caratteristica di una curva di Bertrand consiste nell'avere a co- 

 mune le normali principali con una seconda tale curva, che si dice la coniu- 

 gata della prima. 



Tutte le curve di Bertrand per le quali le costanti A,B nella (1) 

 rimangono le stesse si diranno appartenere ad una medesima famiglia; in 

 particolare se A = 0 abbiamo la famiglia delle curve a torsione costante, 

 se B = 0 quella delle curve a flessione costante. Ad ogni famiglia ( 1 ) di 

 curve di Bertrand, escluso il caso A = 0 delle curve a torsione costante, 

 il noto teorema di Laguerre associa X iperboloide rotondo ad una falda di 

 semi-assi A,B; poiché tutte queste curve danno le intìnite forme che as- 

 sume il circolo di gola dell' iperboloide quando questa quadrica si deforma 

 come superficie flessibile ed inestendibile, mantenendo rettilinee le genera- 

 trici di un sistema. Inversamente se pei punti di una curva di Bertrand 

 della famiglia (l) si conducono le rette parallele alle binormali nei punti 

 corrispondenti della curva coniugata, la rigata che si ottiene è applicabile 

 sull'iperboloide rotondo di semi-assi A , B(Bioche). Per questa ragione diremo 

 brevemente l' iperboloide rotondo di semi-assi (A , B) associato alla famiglia 

 (1) di curve di Bertrand. 



Si osservi in particolare che nel caso B = 0 delle curve a flessione 

 costante si mantengono ancora queste proprietà, colla particolarità che la, 

 rigata ottenuta colla costruzione superiore di Bieche diventa la sviluppabile 

 delle tangenti alla curva e l'iperboloide associato si riduce alla sviluppa- 

 bile delle tangenti al calcolo di gola. 



Nel caso escluso A = 0, delle curve a torsione costante, ogni curva 

 coincide colla propria coniugata e la rigata della costruzione di Bieche di- 

 venta quella delle binormali alla curva. In tal caso l' iperboloide associato 

 è da sostituirsi coU'elicoide rigata d'area minima, sulla quale tutte le dette 

 rigate sono applicabili. . 



3. La nuova classe di superficie, collegate alle curve di Bertrand, ed 

 alle quali daremo il nome di super (icie <I> sarà definita nel modo seguente: 



Chiamiamo superficie <^ ogni superficie che contenga un dopino si- 

 stema di curve di Bertrand^ appartenenti a due famiglie 



1, 



1 , 



e tali che le due curve di Bertrand incrociantesi in un punto qualunque 



