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della superficie abbiaiio ivi a comme il [jiaiio osculatore delle rispettive 

 curve coniugate. 



Alle curve di Bertrand dei due sistemi daremo poi il nome di curve 

 generatrici. 



Ora è notevole in primo luogo che per l'esistenza di siffatte superficie 

 è condizione necessaria che le costanti (A , B) , (A' , B') delle due famiglie 

 siano legate dalla relazione 



A* + B^ = A'2 + B'I 



Questa, ricorrendo alla nozione di iperboloidi associati, si può esprimere così: 

 Per ogni swperlicie <P gli iperboloidi associati ai due sistemi di curve 



di Bertrand generatrici sono necessariamente omofocali. 



Sostituendo alle superficie <P una superficie simile, potremo supporre 



che sia 



A^ + B^ = A'2 4- B - == 1 , 



cosicché le relazioni lineari vincolanti le curvature potranno scriversi 

 , . cos Gi . sen ff, _ 



(«) —+— = 1, 



essendo , «'2 due costanti, diverse fra loro, e giacenti nell' intervallo 

 — ~2 ' ~^^)* il evidenza le due costanti da cui dipendono le 



due famiglie di curve, indicheremo la superficie stessa col simbolo ^(j,,cr, . 



La condizione trovata come necessaria è pur sufficiente, come viene 

 precisato dal seguente teorema di unicità e di esistenza: 



Date ad arbitrio due curve di Bertrand Ci , delle rispettive famiglie 

 (a) , (/i), che si incrocino in un punto dello spasio, avendo ivi a comune 

 il piano osculatore delle coniugate^ esiste una ed una sola superficie <Pa,,(j5 , 

 che contiene Ci , C2 come curve generatrici. 



Risulta di qui che le superficie ^a^,a^ formano un'infinità dipendente 

 da due funzioni arbitrarie, di una variabile ciascuna, una inerente alla prima 

 curva Ci, l'altra alla seconda C2. 



4. Osserviamo due casi particolari notevoli di superficie (t>. 



a) \ due sistemi di curve generatrici della <P siano a torsione costante, 



per la qual cosa dovremo supporre p. es. Ci = -f- , ^2 = — ^ , indi 



