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Siccome ogni curva a torsione costante coincide colla propria coniugata, 

 la definizione stessa di superficie (t> porta che le curve a torsione costante 

 dei due sistemi hanno per piano osculatore il piano tangente della super- 

 ficie, cioè ne sono le asintotiche. Dunque : Le superficie (Ptt tt sono le su- 



perfide pseudosferiche (di raggio =1). 



b) Suppongasi che uno dei due sistemi di curve generatrici sia a 

 flessione costante (o-, = 0). Se C, è una di tali curve e una generatrice 

 dell'altro sistema, la tangente a Ci coincide colla direzione della binormale 

 della curva C2 coniugata di C2. Per ciò la normale principale di (co- 

 mime a Cg) è anche normale alla curva Ci , e coincide dunque colla normale 

 alla superficie, sicché le curve C2 sono tutte geodetiche della superficie. Di 

 più, in questo caso, è costante = cr? l'angolo sotto cui si tagliano le curve 

 generatrici dei due sistemi : 



Sulle superficie (Po, a le curve generatrici del primo sistema sono a 

 flessione costante (= 1) e traiettorie isogonali sotto l'angolo a delle curve 



di Bertrand del secondo sistema, le quali di più. sono geodetiche della 

 superficie. 



Se ulteriormente a = — \& curve del secondo sistema sono (geodetiche) 



Ci 



a torsione costante e si hanno le particolari superficie incontrate la prima 

 volta nella mia Memoria: Sui sistemi di Weingarten, Annali di matema- 

 tica, ser. 2*, tomo XIII (1885) e studiate poi dal Fibbi nella sua tesi di 

 abilitazione ('). 



5. Per ogni punto di una superficie (Po, ,53 conduciamo il raggio normale 

 al piano osculatore comune delle due curve coniugate alle due curve gene- 

 ratrici che vi passano. Si forma cos'i una congruenza rettilinea, che si dirà 

 la congruenza associata alla superficie <P. 



La proposizione di Bioche, già ricordata al n. 2, fa riconoscere imme- 

 diatamente una notevole proprietà di queste congruenze: Le rigate che si 

 formano associando i raggi lungo le curve generatrici del primo, 0 del 

 secondo sistema, sono tutte applicabili suW iperboloide rotondo associato 

 a quella famiglia di curve di Bertrand. 



Naturalmente se uno dei due sistemi di generatrici è di curve a tor- 

 sione costante, dobbiamo sostituire all' iperboloide l'elicoide rigata ad area 

 minima. 



La proprietà osservata nelle attuali congruenze rettilinee, di scindersi 

 in due serie di rigate applicabili sopra iperboloidi omofocali, si riscontra 

 anche nella teoria generale delle deformate rigate delle quadriche ed appar- 

 tiene alle congruenze generate dalle rette di un sistema di una quadrica, 

 che venga trascinata da una quadrica omofocale nel rotolamento di questa 



(') Annali della Scui'la Normale Supcriore di Fifa (1888j. 



