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sopra una qualunque rigata applicabile {Lesioni, voi. Ili, § 4, teorema B)). 

 In questo caso però si ha l'ulteriore particolarità che le rigate di un sistema 

 sono tutte congruenti colla quadrica omofocale stessa. 



Allorquando la quadrica si supponga l' iperboloide rotondo, la corrispon- 

 dente superfìcie ^(j,,<j2 è la superfìcie descritta dal circolo di gola dell' iper- 

 boloide omofocale nel rotolamento. Le curve di Bertrand di un sistema si 

 riducono allora ai circoli stessi e quelle del secondo sistema sono le trasfor- 

 mate, per una medesima trasformazione, della curva di Bertrand luogo dei 

 centri dei circoli. 



6. Ritornando al caso delle generali supertìcie ^oi,rj^ , riconosciamo che 

 le congruenze rettilinee associate hanno a comune la seguente proprietà me- 

 trica : 



Sopra ogni raggio della congruenza associata ad una superficie <if>a„<jj 

 la differenza fra il quadrato della distanza dei punti limiti ed il qua- 

 drato della disianza dei fuochi è costante ed eguale a (sen e, -\- sen fT2)^. 



In particolare la congruenza sarà normale solo quando questa differenza 

 è nulla, cioè : 



Condizione necessaria e sufficiente perchè la congruenza associata ad 

 una superficie ^auo^ sia normale è die le costanti <Ji , siano eguali e 

 di segno contrario 



= — (Tj = 0-. 



In questo caso le due famiglie (a), (/S) di curve di Bertrand sono opposte; 

 gli iperboloidi omofocali associati coincidono, però collo scambio dei due 

 sistemi di generatrici. 



Questo caso molto notevole di superfìcie <P(,,-a, a congruenze associate 

 normali, trovasi considerato la prima volta nella Memoria del sig. Chieiìì: 

 Sulle deformate dell'iperboloide rotondo ad una falda, Giornale di Napoli, 

 voi. XII, ser. 2^ (1905). Ivi pure è dimostrato un interessante teorema che, 

 colle nostre denominazioni, si enuncia : 



Nella congruenza associata ad una superficie <l>c,-a una delle falde 

 focali è applicabile sull'iperboloide rotondo di semi-assi A = coso", 

 B = sen a. 



Se si suppone e = — si ha il caso particolare delle superfìcie pseudo- 



sferiche, ove la congruenza associata diventa quella delle normali ed ambedue 

 le falde focali sono applicabili sul catenoide (o sull'elicoide rigata d'area 

 minima). 



7. Descritte le proprietà geometriche fondamentali delle superficie 

 <J*(ii,(ja) vogliamo ora dare le formole da cui dipendono. 



Lasciando da parte il caso ben noto delle superficie pseudosferiche, do- 

 vremo distinguere secondo che uno dei sistemi di curve generatrici è di 

 curve a torsione costante, ovvero nessuno. 



