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Cominciamo dal primo caso ed assumiamo a linee coordinate {u,v) sulla 

 superfìcie le generatrici, supponendo che \e v = cost siano quelle a torsione 



costante -^=1, e le m = cost curve di Bertrand delia famiglia 



cos cr sena 



Allora abbiamo : Le superficie 0tv ^ della classe attuale corrispondono bi- 



univocamente alle coppie (H , tp) di funzioni di u ,v che soddisfano al 

 sistema di equazioni a derivate parziali 



(I) 



DH 1 -f- sen g 



cos 0" 



1 -f- sen 0" 



7)M '^v cos a 



cos g) . H 



llxf 2H \ 



SOS w \ . 



\1)V cos cr/ 



Nota una coppia (H , (f) di soluzioni delle (I), la superficie (Pir cor- 



2'° 



rispondente è determinata, a meno di movimenti nello spazio, dalle equa- 

 zioni seguenti in cui (a , | , ^) hanno il solito significato della teoria delle 

 curve, come coseni di direzione del triedro principale relativo alle y = cost: 



~òu 



1)U 

 7>M 



1 -|- sen e 



cos (T 



^uì^' 



=-( 



1 -}- sen 0" 



cos a 



sen 



(p — — \a — A , 



1)U / 



(2) 



7>a tt/ ^ + se n a \ 

 — - H — — ■ ^ + cos o) . A ) , 



1)V \ cos (T / 



7>a 

 1)V 



21 



( 



cos a 

 1 -j- sen e 



H I ' a 4- sen (p . l) , 



cos 0- / 



— = — H (cos (p . a sen (f . ^) ; 



inoltre le derivate delle coordinate x ,y ,z dei punti della superficie sono 

 date dalle formolo 



(2*) — =a , — = H( — sen 0" sen y . a + sen cos 9) . ^ — coso" A) 



e analoghe per y ,z . 



