— 389 — 



Si osservi che, soddisfatte le (I), le (2) danno un sistema ortogonale 

 completamente integrabile, e le condizioni d' integrabilità delle (2*) sono 

 anch'esse identicamente soddisfatte. 



8. Prendiamo ora il caso generale, in cui nessuno dei due sistemi di 

 generatrici è di curve a torsione costante. Assumiamo ancora a linee coor- 

 dinate le curve generatrici, cangiando solo per simmetria la notazione delle 

 variabili u,v in Uì ,Uz. In questo caso abbiamo: 



Le superficie generali <P(j,,(j„ corrispondono biunivocamente alle terne 

 {0 ,wi , Wz) di funzioni di Ui , , che soddisfano alle equazioni simultanee 

 alle derivate parziali: 



(li; 



^«2 



cos Ci cos Co cos (c»i — CO») -|- sen c, sen Cj — 1 ^6 

 sen e, — sen Cj '^u^ 



cos Ci cos Ca cos(o)i — ft).,) -{- sen Ci sen Oc, — 1 7)6 



sen Ca — sen Ci 



cos Ci cos C2 sen (co, — co.,) 7)6 

 sen e, — sen Co Dmj 



Nota una tale terna {6 , «1 , «2) , la corrispondente superfìcie ^gi,<s^ è 

 individuata, a meno di movimenti nello spazio come segue. Ad ogni punto 

 della superficie si associa un triedro trirettangolo col vertice nel punto, e 

 coi coseni di direzione dei tre spigoli 



(Xi , Yi , Zi) , (X2 , Y2 , Zj) , (X3 , Y3 , Z3) , 



il terzo spigolo avendo la direzione comune delle binormali alle coniugate 

 delle due curve generatrici pel punto. Sussistono allora le formole 



^X ^6 



- — - = — — ( — sen Ci Xo 4- cos e, cos wi X3) , 



T'Xi 7)^ / ^ Tr I ir \ 



= (— sen Cj Xj + cos Cj cos «2 X3) , 



(a) 



(sen Ci Xi + cos e, sen X3) , 



DXj 7^^ / -V- I 17- \ 

 = (sen CjX, + cos C2 sen ««2 X3) , 



Ì)M2 7)M2 



^Xs 7)^ , -u- I -w \ 



= — cos c, (cos tói X, + sen wi X2) , 



7)Mi 7)2^1 



7)X 



= — cos C2 (cos «2 Xi 4- sen «2 X3) , 



7)2*2 ^^2 



colle analoghe per Y,Z. Per le derivate delle coordinate dei punti della 

 superficie abbiamo poi: 



Kendiconti. 1912, Voi. XXI, 2" Sem. lA 



