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10. Anche per le trasformazioni Bg delle superfìcie «Pai, da vale il teo- 

 rema di permutabilità : 



Se da una mper/icie ^a,,ca si passa a due contigue <f'ai,c2 » ^ai,<r3 

 joer trasformazioni Ba^, B<j'r a costanti g' . o" differenti,, esiste una quarta 

 superficie ^'o',',g^ legata rispettivamente alle <P'ai,a. , ^"1,50 da trasforma- 

 sioni B<jrf , Bc;.- colle costanti invertite. 



Indicando con 6' , 6" le funzioni 6 relative alle O' , cf>", quella 6"' per 

 la quarta superficie <P"' si calcola dalla solita formola valevole per le su- 

 perficie pseudosferiche 



. e'"— 6 2 , d'—d" 



a'-a" '^-ir- 



Le conseguenze di questo teorema di permutabilità sono naturalmente 

 le stesse come in tutti gli altri casi analoghi; in particolare ne risulta: 

 Basta integrare la prima equazione di Riccati corrispondente alle equa- 

 zioni di trasformazione (4), per un valore arbitrario di rr, e la applica- 

 zione indefinitamente ripetuta delle trasformazioni alle nuove superficie 

 si eseguirà dopo ciò con soli calcoli algebrici e di derivazione. Si osservi 

 poi che : nella quaderna ((P , <P' , cP" , <P'") del teorema di permutabilità 

 quattro punti corrispondenti M , M' , M" , M'" formano i vertici del solito 

 quadrilatero sghembo deformabile^ conservandosi invariabili le lunghezze 

 dei lati e le ampiezze degli angoli diedri. 



11. Nel dare le formolo per la trasformazione B^ della superficie <P<j,,c;2 

 noi abbiamo escluso il caso che la costante e prenda uno dei valori Ci , (Tj , 

 perchè allora uno dei due denominatori nelle formolo (4) di trasformazione 

 si annulla. 



Ma anche in questi casi limiti e — Ci . 0 o' = (7j, esistono trasforma- 

 zioni corrispondenti B^i , B^^ ed hanno anzi speciale interesse. Queste sono 

 per altro da riguardarsi come trasformazioni singolari, in quanto che le 00 ^ 

 trasformate del caso generale vengono, per ciascuna di esse, a coincidere in 

 una sola superficie, che si ottiene in termini finiti colla semplice costru- 

 zione seguente: 



Di tutte le curve di Bertrand dell'uno 0 dell'altro sistema sopra la 

 ^ffi.oa si prendano le curve coniugate. Il luogo di queste coniugate è un'al- 

 tra superficie della medesima classe, sulla quale le curve di Bertrand 

 generatrici corrispondono a quelle della primitiva. Le nuove superficie 

 sono appunto le due derivate di ^G,,a. per le trasformazioni singolari 



B(ji , B(ja • 



