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Diremo anche queste due nuove superficie (P' , <t>" le complementari 

 della primitiva <I>, prese rispetto al corrispondente sistema di curve gene- 

 ratrici. Queste superficie coniplemeatari sono date dalle formole 



[ x' = X -\- cos (Xj (cos «1 Xi -f- sen Wj X2) , 



( x" = X cos (X2{gos W2X1 -\- seu W0X2) , 



che corrispondono alle generali (5), ove si faccia a = Gì , 6' = (a^ [i = 1 ,2). 



Il teorema di permutabilità seguita a sussistere anche nel caso attuale 

 delle trasformazioni singolari ed ha qui questo particolare significato che: 

 le due superficie , avendo a comune la complew.entare <P, prese per 

 (P' rispetto al primo per <P" rispetto al secondo sistema di curve genera- 

 trici, hanno ancora a comune l'altra complementare <P"' prese per <D' 

 rispetto al secondo, per 0' rispetto al primo sistema di generatrici. 



Dobbiamo ancora avvertire che tutte le proprietà della trasformazione 

 generale Bc continuano a sussistere anche nei casi (qui omessi per brevità) 

 che uno 0 tutti due i sistemi di curve generatrici sopra <I>ai,<i2 sia a tor- 

 sione costante. Soltanto le due trasformazioni singolari si riducono ad una 

 sola nel primo caso, e spariscono affatto nell'ultimo che appartiene alle su- 

 perficie pseudosferiche. 



12. La nuova classe di enti geometrici introdotta colle superficie «Pcn.aa 

 ammette, come si è visto, una teoria delle trasformazioni. Si può quindi 

 nuovamente applicare il principio, accennato al n. 1, a questi enti come 

 elementari, e considerare gli enti piìi complessi che ne derivano per una 

 successione continua di tali trasformazioni infinitesimali. Nel caso attuale, 

 applicando una volta il detto, processo alle superficie <P(j,,g3, gli enti nuovi 

 che si ottengono sono: sistemi tripli {non ortogonali) di superficie 

 che Si tagliano mutuamente lungo le loro curve di Bertrand. 



Un tale sistema triplo, che si indicherà con 



consta in effetto di : tre congruenze di curve di Bertrand appartenenti a 

 tre diverse famiglie 



, , cos Cj , sen (Ti , > cos . sen 0-2 , 



{<^ù — |-^- = l' («2) — h--7ir- = ^ 



Pi 11 ?2 Ì2 



, . cos 0-3 sen 0-3 



(«3) — h -irT- = 1 , 



tali che da ogni punto dello spazio escono tre curve di Bertrand delle 

 famiglie («i), («2), («3) ed hanno ivi a comune il piano osculatore delle 

 tre rispettive coniugate. 



