In grazia del suo modo speciale di formazione, questo sistema (III) è 

 un sistema chiuso, cioè quelle condizioni di integrabilità che dalle (III) 

 possono formarsi : 



dove i ,k^l sono indici diversi, si trovano identicamente verificate per le 

 (III) stesse. 



Ne segue che : Il sistema (III) ammette una soluzione generale 

 (tì , Wi , «2 , «n) dipendente da n funzioni arbitrarie, di una variabile cia- 

 scuna, a prescindere da cangiamenti di parametri Ui , Uz , ... Un O- 



14. Veniamo ora alla interpretazione geometrica di questi risultati. 



Scelta ima qualunque soluzione (6 , «i , , .. m„) delle (III), si consi- 

 deri il seguente sistema simultaneo di equazioni differenziali per tre funzioni 

 incognite 



Xi , , X3 



delle Ui , U2 , ... u» '■ 

 7)X, 



(8) 



~ÒUi 



DX3 



~ÒUi 



ne 



IlUi 



( — sen Cj X2 -|- cos Of cos X3) , 

 (seu 0"; X] -\- cos Gì sen «j X3) (? 1 , 2 , 3 , ... n) 



ne 



cos 0"; (cos cùj X| + sen X2) 



Questo, a causa delle (III), è un sistema ortogonale completamente integra- 

 bile. Ne resta quindi determinato, a meno di movimenti, un triedro triret- 

 tangolo mobile ad ìi parametri Mj , Ut , ... u» 



X: Z, 



X2 Yj Z2 

 X3 Y3 Z3 



i coseni di direzione scritti in ciascuna verticale essendo soluzioni delle (8). 

 Ma se prendiamo allora le tre espressioni 



(') È evidente che, cangiando comunque i parametri Mi , «a , ... il sistema (IIlJ 

 conserva sempre la medesima forma. 



