— 395 — 



dx ='y^ cos Oi ( — sen Cj sen cwjX, -\- sen <fi cos Wj — cos (Tì X3) dui 



(9) I dì/ = y_ COS c, ( — sen (r, sen w; Y, -{- sen cos a?; T2 — cos o-j Y3) du{ 



/ i=n. 



J dg = Y cos cTj ( — sen Ci sen w, Zi + sen ff; cos «j Z2 — cos ffj Z3) c^Mì , 



\ i=ì Dm 



vediamo che, in grazia delle (III), (8), sono diferenziali esatti. 

 Se interpretiamo i tre integrali 



(10) X = x{ui , W2 , •.. Un , y = y{ui , U2 , ... u») , s = s{ui , m.^ , . . w„) 



come coordinate ortogonali di un punto P mobile nello spazio, le (10) ci 

 danno appunto i sistemi generali 



accennati sopra, e di cui ora andiamo a descrivere le proprietà geometriche. 

 Partiamo da n valori fissi 



dati alle n variabili, ai quali corrisponderà per le (10) un determinato 

 punto Po = (cco , Va 1 ^0) dello spazio, indi lasciando ad w — 1 delle varia- 

 bili questi valori fissi rendiamo variabile le sia Ui. Il punto V = {x,y ,2) 

 descrive allora una curva di Bertrand della famiglia 



, . cos Ci sen (S^ 



(«i) —7- + — 1 ' 



Vi 



uscente dal punto Po ed avente X3 , Y3 , Z3 per coseni di direzione della 

 binormale alla coniugata. 



Se diamo poi all' indice i i suoi n valori 1 , 2 , 3 , ... ;^ avremo, uscenti 

 da Po, n curve di Bertrand delle rispettive n famiglie {aì) (/ = 1 , 2 , ... n) 

 ed aventi ivi a comune il piano osculatore delle coniugate. 



Ed infine facendo variare i valori iniziali («<[•'") le n rispettive curve 

 di Bertrand descriveranno altrettanti sistemi, ciascuno oo"-\ appartenenti 

 a quelle n famiglie 



È manifesto che per n = 2. ritorniamo così alle superficie ^rr,,a2 , per 

 /^ == 3 ai sistemi tripli ^au'^ì,'!^ > 6cc. 



Infine il teorema d'esistenza delle soluzioni del sistema (III) si precisa 

 geometricamente così : 



Date ad arbitrio n curve di Bertrand delle rispettive famiglie {aì) 

 i — 1 ,2 , ... n , uscenti da un medesimo punto dello spazio, ed aventi ivi 



