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a comune il piano osculatore delle coniugate, esiste uno ed un solo sistema 

 ^^ai,<st,...an cofiticne coMe curve generatrici (cfr. nn. 4 e 12). 



15. Come nel caso n = 2 delle superficie (Pcaa, così anche nel caso 

 di n qualunque i sistemi (P<T,,ga,...(j„ ammettono trasformazioni Ba, che 

 dipendono da formole perfettamente analoghe. 



Supposto dapprima a diverso da e, , Cj , ... (r„ , si ha: 



Le equazioni simultanee 



, ~ò6' cos (T cos ff, cos{6' — (Wj) -)- sen (7 sen e,- — 1 ~ò6 



l)Ui sen a — sen cr^ 



(?■ = 1 , 2 , ... n) 



per la funzione incognita 6\ soddisfacendo & , co, , «2 , ... <w„ alle (III), 

 formano un sistema completamente integrabile. Una qualunque B' delle 

 sue 00 1 soluzioni, introdotta nelle formole 



(12) x' = cc + cos(r(cos<?'Xi 4-sentì'X2), 



ed analoghe per y' ,z', dà un nuovo sistema ^'a,,(j2,...a«, trasformato dal 

 primitivo per la B<j. 



Per questo nuovo sistema si calcolano altresì i valori &>[ , «Wj , ... da 

 associarsi a 6\ come nuove funzioni w,, dalle formole (cfr. (6) n. 10) 



no-, , g-a>: ' 2 ^ 0'-a>, 



(13) ^g-i-= cr,-cr ^g~2— • 



sen^— 



I CBsi limiti in cui e assume uno dei valori «r, danno luogo alle n 

 trasformazioni singolari 



<3iascuna con un unico sistema trasformato, che si calcola (in termini finiti) 

 dalle formole 



(14) Xi = X -\- cos o",(cos M; Xi -|~ sen Wj X2) . 



Geometricamente questi n sistemi (14) derivati per le trasformazioni singo- 

 lari, che diciamo anche i complementari del primitivo, si ottengono assu- 

 mendo le coniugate delle curve di Bertrand della famiglia in <P(j,,<js,...(i», 

 È importante osservare che se di ciascuno di questi complementari si 

 prendono nuovamente i complementari e cosi via, non si ottiene già un nu- 

 mero infinito di sistemi <P(t,,(is,...o», come a prima vista potrebbe sembrare, 

 ma si arriva ad un ciclo chiuso di 2" tali sistemi, in cui ciascuno ha i 

 moi n complementari nel ciclo stesso. 



