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A) Estensione al caso di un nucleo non simmetrico. 



Sia H(^ , x) una funzione reale delle variabili reali ^ , x definita nel 

 quadrato 0<.J<.l,0^a;<-l, che soddisfi alle seguenti proprietà: 



I. Se fp{^) è una funzione integrabile, insieme col suo quadrato, nell'in- 

 tervallo 01, in senso di Lebesgue. 



siano funzioni di x finite e continue nell' intervallo 0 1 ; inoltre 



'nix , ^) H(^ ,y)d^ , 



r 



risultino, per 0 <. x <. 1 , 0 < 1, funzioni continue, non identicamente 

 nulle. 



II. Se 



<P,(.r) , (I>,{x) , ... <I>,.{a^) , ... 

 «Pi(x).«'e(a;), ...<Pn(^),... 



costituiscono le serie complete dei valori eccezionali e delle funzioni biorto- 

 gonali di (Goursat) del nucleo H(| , x) in modo, che si abbia 



^0 



ecc. 



le costanti Ai , , ... A„ , ... s/e/zo, tranne al più un numero finito di esse^ 

 negative. 



Sia poi, come nelle Note precedenti, g{x , t) una funzione finita e con- 

 tinua colla derivata ~~ finita e continua nel campo 0<.ic<.l , t , 



tt essendo una costante assegnata. 



Detto allora, secondo la definizione già data, che una funzione u{x , t) 

 è un integrale regolare della (1), se è finita e continua rispetto ad ambedue 



le variabili x , t per 0 <. » <. 1 , ^ ^ » colla derivata — integrabile par- 



ct 



zialmente rispetto a x insieme col suo quadrato nell'intervallo 01, qualunque 

 sia t ^ t^, allora la condizione necessaria e succiente perchè esista un 

 integrale regolare della (1), che per t = t^ assume i valori di una fun- 



