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2*) L'uso d'un metodo — qnasi di l'icorrenza — che permetta, co- 

 nosciuti certi elementi, di calcolare tale totalità. Ad esempio le formole di 

 Legendre, di Meissel ecc. 



3^) Porre in relazione i numeri primi con certe singolarità. In par- 

 ticolare si potranno assegnare « equazioni caratteristiche » cui soddisfano, 

 fra i numeri reali (od i numeri interi), solo i primi. Ed a questo si ricon- 

 nettono molti lavori: quello del prof Levi-Civita, ad esempio (Acc. Lincei, 

 voi. IV, 1° sem., fase. VII, ser. 6*. pag. 303). 



4^) Costruire una funzione continua che per valori interi della va- 

 riabile sia legata alla totalità dei numeri primi infeiiori a quei valori, da 

 semplici relazione : ad esempio, che la sua parte intera sia tale totalità ; 

 oppure che il valore della funzione differisca da essa per quantità il cui 

 rapporto alla funzione tende a zero. 



A questa idea si riconnettono i lavori sulla distribuzione assintotica 

 di cui ci occupò già genialmente il Cesàro, ed a cui è in massima parte 

 dedicata l'opera poderosa del Landau. Esporremo in un'altra Nota una for- 

 mola di questo tipo. In questa Nota daremo tre espressioni della totalità, 

 basate sull' uso della serie di Lambert o del teorema di Wilson. La terza 

 permette anche di dare le somme delle potenze a-sime dei numeri primi. 

 Inoltre in questa terza formola si evitano del tutto le quantità complesse 

 che le prime due formole rendono di sola apparenza. 

 2. Consideriamo la funzione: 



Questa funzione, per x reale, si annulla solo se x sia un primo. Infatti, per 

 X reale si ha che primo e secondo termine del primo membro sono essen- 

 zialmente positivi, epperò il minimo valore che <^{x) può assumere è lo 

 zero. Denque si dovrà avere 



La prima di queste due eguaglianze ci dice che x deve essere intero. 

 Allora T{x) diventa [x — 1)! E perchè sia soddisfatta anche la seconda, 

 per il notissimo teorema di Wilson deve essere a primo. Dunque i soli 

 punti zero reali della (P sono i numeri primi. D'altra parte, la funzione <P 

 potrebbe avere singolarità solo nei punti in cui l'uno e l'altro, o ambedue 

 i termini che la compongono, l'avessero. Ora il secondo termine ha per 

 sola singolarità (essenziale) l' infinito; il primo, considerato come funzione di 



(1) 



nx) + 1 



1 



X 



Rrndiconti. 1912, Voi. XXI, 2" Sem. 



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