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li presenta solo per 3= oo . Ma ^ diventa infinito oppure ha una singola- 

 rità essenziale solo per 



x — 0; 



x = — 1 ; ... 



Dunque possiamo asserire che nessun punto del semiasse reale positivo 

 di singolarità per la cP. Epperò, l'integrale 



iniJ a>(x) 



esteso ad un contorno che giri, distandone per una quantità sufficientemente 

 piccola, intorno al segmento dell'asse reale compreso fra 1 ed « , ci darà 

 la totalità dei numeri primi inferiori ad n. Tale contorno lo diremo « taglio 

 Lo stesso si poteva ripetere per la funzione 



«P(.2;) = sen« -[- sen^ I r -f 1 1 XTT , 



la quale presenta come punti-zero reale gì' inversi dei numeri primi, e come 

 punto di singolarità essenziale, nel segmento (s , 1), il punto 0. In tal caso 



l'integrazione va estesa al taglio ^1,^^. 



3. Passiamo a dare la 3^ espressione, che si potrebbe forse usare per 

 averne formolo assintotiche. 

 È chiaro che la funzione 



sen nx 

 nx 



per X intero diverso da zero, è nulla; per x tendente a zero, tende ad 1. 

 D'altra parte, se S{n) è il numero dei divisori di n, e: 



è la serie di Lambert, si ha: 



Ora, 6(n) 2, secondochè n non sia 0 sia primo. Dunque l' intero 



