— 409 — 



nella quale 



dove [x , ì/ . z) rappresenta un qualsiasi punto interno ad S . 



Ciò premesso, J^f = J^{u s^) rappresenta la più generale densità q 

 limitata ed integrabile^ per la quale, inoltre, valga la formula del Poisson 

 e sia nulla la corrisponde .He azione esterna del corpo limitato dalla su- 

 perficie considerata. 



Che J-f corrisponda ad una distribuzione di densità, per la quale la 

 azione esterna del corpo resalta nulla, si vede immediatamente, ricorrendo 

 alla nota formula del Green, relativa ad un punto esterno qualsiasi, la quale, 

 tenendo presenti le condizioni (/?), porge 



in ogni punto esterno. 



E che una qualsiasi densità limitata ed integrabile, per la quale, 

 inoltre, valga la formula dei Poisson e sia nulla la corrispondente azione 

 esterna del corpo, possa mettersi sotto la forma suddetta, resulta da quanto 

 segue: Si ponga, nell'interno del campo r, identicamente, 



(2) ~ = — Anu, 



s 



dove 



Per cui, intanto, nell'interno stesso, 



(3) Y = — 4nusK 



Col tendere del punto interno verso il contorno, V tende, per ipotesi,, 

 allo zero; quindi anche — Attus^ tenderà verso lo zero. Sicché, assumendo 

 come valori di u nell' interno i valori dati dalla (2), e come valori della u 

 sul contorno dei valori finiti qualsiasi, ed assumendo nulle la w e la s al- 

 1 esterno di t, la (3) varrà in tutto lo spazio. Dunque 



— 47rus^ = f . 



E quindi 



(4) Q=j^{us'). 



La (1) ci mostra pure quel clie vi è di arbitrario nella questione. E, 

 poiché il ragionamento fatto per dimostrare la generalità della (4) non di- 



