— 419 — 



Matematica. — Sull'integrale di Dirichlet. Nota della dotto- 

 ressa Angela Maria Molinari, presentata dal Corrispoudeute Al- 

 fonso Di Legge (0- 



1. Le condizioni alle quali deve soddisfare una funzione di variabile 

 reale 'ip{x), per essere rappresentabile in serie od in integrale di Fourier, 

 vengono precisate in quasi tutti i trattati di analisi o di tìsica matema- 

 tica (^), sotto la forma tipica di Dirichlet, od in modo poco diverso. 



Esse si distinguono in condizioni al finito, comuni per la serie e per 

 l'integrale, ed in condizioni all'infinito, speciali per l'integrale. 



Le condizioni all'infinito furono accuratamente analizzate dal Pring- 

 sheim (^), il quale trovò che la formulazione fino allora universalmente ac- 

 cettata non era interamente esatta. Nuove condizioni rigorose furono date 

 poi, dal prof. L. Orlando (■*) e dalla sig.°* G. Graziani (^). 



Non è inutile, credo, portare qualche analoga discussione anche sulle 

 condizioni al finito, sulla loro dimostrazione e sulla possibile loro estensione. 



Come è noto, esse dipendono tutte (") dalla validità della così detta 

 formula integrale di Dirichlet, cioè dalla seguente : 



(A) lim \ '^-^xp{x)dx='lxp{+0), (^>0) 



che contiene, come caso particolare, quest'altra: 



Si — = L«,^ fissi J 



Infatti, presupposta in ogni caso l' integrabilità assoluta della \p{x), si con- 

 stata facilmente che, quando la formula (A) è verificata, essa può trasfor- 



(') Pervenuta airAccadeniia il 12 settembre 1912. 



(^) Mi riferirò, in particolare, al classico trattato di Riemann e Weber, Die partiellen 

 Dijferential-Gleichungen der mathematischen Physik, V ediz., voi. I (Braunschweig, 1910). 



(") A. Pringsheim, Weber das Fourier''sche Integraltheorew, Jahresbericht der deiit- 

 schen Mathematikervereinigung', voi. XVI (1907), pp. 2-16. 



(*) L. Orlando. Sulla formula integrale di Fourier, Rendiconti Lincei, ser. 5^, 

 voi. XVII (1908), pp. 367-371 ; Nuove osservazioni sulla formula integrale di Fourier, 

 ibid., voi. XVIII (1909), pp. 343-348. 



(^) G-. Graziani, Sulla formula integrale di Fourier, Rendiconti Lincei, ser. 5^, 

 voi. XVIII (1909), pp. 169-172; Funzioni rappresentabili con la formula integrale di 

 Fourier, ibid., pp. 596-601. 



(«) Cfr. Riemann-Weber, op. cit., voi. I, §§ 18-19 e 29-34 (ovvero §§ 17-18 e 27-32 

 della IV ediz.), od anche E. Picard, Traité d'analyse, voi. I (1901), cap. IX, pp. 235-258. 



