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marsi, senza ulteriori condizioni (salvo, ove sia il caso, quelle ali" infinito), 

 in una opportuna serie od in un integrale di Fourier, che rappresenti yj{-{-0)', 

 e reciprocamente. Ne segue, se si prende per origine un punto qualunque, 

 che le condizioni necessarie e sufficienti ai finito, perchè gli sviluppi di 

 Fourier siano validi in quel punto e rappresentino il valore 



quando esso esiste, si riducono alla validità della formula di Dirichlet a 

 destra e a sinistra di detto punto. 



Si tratta dunque di precisare le condizioni di validità della formula (A). 



La dimostrazione classica procede per gradi : si passa da una funzione 

 tp{x) limitata e monotona, ad una funzione illimitata, ma integrabile, ge- 

 neralizzando poi, il risultato al caso in cui la funzione sia monotona a tratti 

 ed integrabile. 



Per condurre questa dimostrazione vi sono due metodi : a) quello ori- 

 ginale di Dirichlet (^), che consiste nel suddividere l' integrale in tanti inte- 

 grali, corrispondenti rispettivamente ai tratti dove sen la: è positiva e a 

 quelli dove è negativa; b) quello di Ossian Bounet, Du Bois Reymond, e 

 C. Neumann, che si fonda suirapplicazione del secondo teorema della media. 



Il secondo metodo è forse il più elementare : una forma tipica di di- 

 mostrazione, fatta con questo metodo, è appunto esposta nel Riemann-Weber. 

 A prima vista però, non apparisce evidente il rigore di tutti i passaggi ivi 

 effettuati, essendo necessario un continuo richiamo ai lemmi preliminari o 

 ad altri equivalenti, per accertare la legittimità di tutte le inversioni di 

 passaggi al limite che intervengono nei calcoli. Si può anche osservare che 

 ad uu certo punto (^) vi è una condizione sovrabbondante; si asserisce in- 

 fatti, che la funzione ip{x) nell'intorno a sinistra di un punto di infinito 

 conserva segno costante; ora di questa condizione (che nel caso particolare 

 è soddisfatta) non si fa uso nella dimostrazione, ed essa rimane, restrizione 

 non necessaria, o limitare le successive generalizzazioni. Conviene quindi cer- 

 care di rivedere tutto il processo deduttivo, e rimuovere queste difficoltà 



Mi permetto qui di esporre una dimostrazione, non diversa nella sostanza, 

 ma ridotta a forma che mi sembra molto semplice ed esente dalle dette 

 obiezioni, e che si presta quindi alla generalizzazione che ne farò in seguito. 



Come premessa, in luogo dei lemmi (1), (I), (II) del Riemann-Weber 

 (§ 16 della V ediz., ovvero § 15 della IV ediz.). mi valgo solamente della 

 formula 



(') Questo è il metodo seguito dal Picard, loc. cit., e dal Goursat, Cours d'analyse 

 mathématique, tomo I (1902), cap. IX, 196, pp. 464-472. 



(^) Riemann-Weber, loc. cit. § 17, pag. 40 (ovvero § 16, pag. 35 dulia IV ediz.). 



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