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zero, e l'integrale che la moltiplica, comunque J possa variare fra 0 e 

 essendo un integrale della forma j ^ dtì , resta compreso fra limiti 



finiti [altrimenti l'integrale (l) non sarebbe convergente]. Gli altri due 



Cauchy applicato alla convergenza della (1)] e quindi tendono a zero. 

 Si ricava dunque la formula: 



In quanto alla (B), si può ottenerla, sia come conseguenza della for- 

 mula (A), sia direttamente con un processo analogo a quello seguito per 

 dimostrare l'annullarsi dei precedenti integrali. Anzi, di qui si vede che 

 la (B) resta ancora valida se, invece di un limite inferiore a fìsso, poniamo 

 un limite variabile in funzione di A, purché, col tendere di questo limite 

 a zero, il prodotto al tenda all' oo insieme con A . 



3. Le generalizzazioni che si fanno nelle trattazioni classiche, sono 

 quelle che seguono: 



a) rpi^c) invece di essere limitata, divenga infinita al limite supe- 

 riore b, purché ivi il suo integrale resti convergente; 



b) ìp{x) nell'intervallo {0 , b) abbia un numero finito di punti di 

 infinito, purché fra un punto di infinito e l'altro sia monotona e resti con- 

 vergente ; 



c) xp{x) sia tale che l'intervallo (0 , b) si possa dividere in un nu- 

 mero finito di intervalli, in ciascuno dei quali essa soddisfi alle condizioni 

 precedenti (che, è bene osservare, portano di conseguenza l'integrabilità 

 assoluta su tutto l'intervallo). 



Queste condizioni hanno l' inconveniente di non essere chiuse, nel senso 

 che, per combinazione lineare di funzioni che soddisfino alle condizioni c), 

 si ottenga una funzione che vi soddisfi. È facile, infatti, ottenere, per sem- 

 plice somma di due funzioni che soddisfino a c), una funzione con un nu- 

 mero infinito di massimi e minimi, e che pure verifica la formula di Dirich- 

 let, perchè le operazioni di limiti e di integrali sono distributive. 



Per quanto sia difficile dare condizioni necessarie, si può proporre il 

 problema di ottenere condizioni che, pur essendo soltanto sufficienti, siano 

 almeno chiuse, nel senso sopra indicato. Una risoluzione di questo problema 

 si ottiene considerando la classe delle funzioni a variazione limitata (con- 

 dizione di Jordan); una qualunque di queste funzioni, può sempre decom- 

 porsi in due altre monotone e limitate, e quindi verifica le formule (A) 



sono integrali singolari [criterio di 



