— 423 — 



e (B); per combinazione lineare di funzioni a variazione limitata, si otten- 

 gono ancora funzioni a variazione limitata, dunque la condizione di Jordan 

 ha il vantaggio di essere chiusa. Ma, mentre da un certo punto di vista è 

 più generale di quelle di Dirichlet, da un altro punto è meno generale, 

 perchè esclude le funzioni illimitate. 



4. Senza entrare nella discussione di condizioni che hanno carattere 

 meno elementare, come quelle di Lipschitz, di Dini, di Lebesgue, etc, mi 

 propongo di far seguire, alla dimostrazione che ho dato per le funzioni li- 

 mitate e monotone, una generalizzazione che conduce immediatamente a un 

 esteso gruppo di funzioni. Questo gruppo comprende, come caso particolare, 

 le funzioni di Dirichlet, e quelle di Jordan, ed ha la proprietà di essere 

 chiuso rispetto a qualunque operazione di somma, sottrazione o combina- 

 zione lineare. 



Pongo le seguenti condizioni: 



I. xp{x) sia assolutamente integrabile (') nell'intervallo (0,è); 

 li. \p{x) sia a variazione limitata in un intervallo finito (0 , a), 

 ciò che porta come conseguenza l'esistenza di xp{-{-0)\ 



[II. ogni altro punto di (0 , b) sia interno a qualche intervallo, non 

 nullo, entro il quale la funzione sia pure a variazione limitata; faccia però 

 eccezione un insieme di punti (necessariamente chiuso) che chiameremo 

 irregolari, e questo insieme abbia misura nulla nel senso di Jordan. 



Una funzione siffatta si potrà chiamare a variazione limitata in gene- 

 rale; resta inteso che nei punti irregolari la funzione può avere qualunque 

 tipo di discontinuità, purché sia assolutamente integrabile. 



Voglio dimostrare che la funzione così definita, verifica l' inte- 



grale di Dirichlet. 



Per provarlo osserviamo che, in virtii delle ipotesi fatte e di teoremi 

 noti, dato s piccolo a piacere, è sempre possibile racchiudere quei punti 

 irregolari, in un insieme e, composto di un numero finito di segmenti, la 

 cui somma sia < « e la cui minima distanza dal punto a; = 0 sia finita. 

 Dicendo allora 2 l' insieme residuo, questo risulta composto di un numero 

 finito di intervalli finiti, nei quali la funzione xp è a variazione limitata. 



Indichiamo ora con |^ un integrale preso fra 0 e b, e nel quale, invece 



di ip, figuri una funzione eguale a xp nei punti di .2 e nulla nei punti di <f, 

 cioè una funzione che è ancora a variazione limitata nonostante i salti arti- 



('j Per la validità della dimostrazione basterebbe che questa integrabilità fosse nel 

 senso di Lebesgue, ma le condizioni successive sono tali che portano di conseguenza la 

 misura nulla (nel senso di Lebesgue) dell'insieme dei punti di discontinuità, e quindi 

 l'integrabilità riemanniana. 



